Prove que
onde
é solução da equação de Schroedinger para uma partícula de massa
.
Calcule a densidade de corrente de probabilidade para a função de onda esférica
onde
e
.
Calcule a densidade de corrente de probabilidade para a função de onda esférica
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) provar a equação de continuidade
para uma função de onda
que satisfaz a equação de Schr"odinger, e (ii) calcular a densidade de corrente de probabilidade
quando
é a onda esférica
com
.
Para (i) precisamos usar a equação de Schr"odinger dependente do tempo e sua complexa conjugada; para (ii) precisamos apenas aplicar a definição de e calcular
.
Para (i) precisamos usar a equação de Schr"odinger dependente do tempo e sua complexa conjugada; para (ii) precisamos apenas aplicar a definição de
Passo 2
Escrevemos a equação de Schr"odinger
e sua conjugada
Multiplicamos a primeira por
e a segunda por
:
Passo 3
Subtraímos a segunda equação da primeira:
O termo de potencial
cancela. Reescrevendo o lado esquerdo:
onde usamos a identidade
. Dividindo por
e reorganizando, obtemos a equação de continuidade:
Passo 4
Da forma de continuidade, identificamos a densidade de corrente de probabilidade como
Passo 5
Agora tomamos
. Como
depende só de
,
Passo 6
Calculamos
Logo
Como
, podemos escrever
.