Prove que
partial(psi^* psi)partial t+i hbar2 m nabla cdot(psi nabla psi^*-psi^* nabla psi)=0
onde psi=psi(r, t) é solução da equação de Schroedinger para uma partícula de massa m.
Calcule a densidade de corrente de probabilidade para a função de onda esférica
varphi=e^i k rr,
onde k=k r e p=hbar k.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) provar a equação de continuidade
partial(psi^*psi)partial t+ihbar2mnablacdotl(psi,nablapsi^*-psi^*,nablapsir)=0
para uma função de onda psi( r,t) que satisfaz a equação de Schr"odinger, e (ii) calcular a densidade de corrente de probabilidade
j=hbar2iml(psi^*nablapsi-psi,nablapsi^*r)
quando psiequivvarphi é a onda esférica
varphi( r)=e^i k rr,
com k=k,hat r.
Para (i) precisamos usar a equação de Schr"odinger dependente do tempo e sua complexa conjugada; para (ii) precisamos apenas aplicar a definição de j e calcular nablavarphi.

Passo 2

Escrevemos a equação de Schr"odinger
ihbar,partialpsipartial t=-hbar^22mnabla^2psi+Vpsi
e sua conjugada
-,ihbar,partialpsi^*partial t=-hbar^22mnabla^2psi^*+Vpsi^*
Multiplicamos a primeira por psi^* e a segunda por psi:
ihbar,psi^*partialpsipartial t =-hbar^22mpsi^*nabla^2psi+V,psi^*psi,
-,ihbar,psipartialpsi^*partial t =-hbar^22mpsinabla^2psi^*+V,psi^*psi

Passo 3

Subtraímos a segunda equação da primeira:
ihbarl[psi^*partialtpsi+psi,partialtpsi^*r] =-hbar^22ml[psi^*nabla^2psi-psinabla^2psi^*r]
O termo de potencial V,psi^*psi cancela. Reescrevendo o lado esquerdo:
ihbar,partialt(psi^*psi) =-hbar^22mnablacdotl[psi^*nablapsi-psinablapsi^*r]
onde usamos a identidade psi^*nabla^2psi-psinabla^2psi^*=nablacdot(psi^*nablapsi-psinablapsi^*). Dividindo por ihbar e reorganizando, obtemos a equação de continuidade:
partial(psi^*psi)partial t +ihbar2mnablacdotl(psi,nablapsi^*-psi^*,nablapsir)=0

Passo 4

Da forma de continuidade, identificamos a densidade de corrente de probabilidade como
j=hbar2iml(psi^*nablapsi-psi,nablapsi^*r)

Passo 5

Agora tomamos varphi( r)=e^ikr/r. Como varphi depende só de r,
nablavarphi =ddrl(e^ikrrr)hat r =l(ik,e^ikrr-e^ikrr^2r)hat r =e^ikrr^2(ikr-1),hat r

Passo 6

Calculamos
varphi^*nablavarphi-varphi,nablavarphi^* =e^-ikrre^ikrr^2(ikr-1),hat r -e^ikrre^-ikrr^2(-ikr-1),hat r =1r^3l(ik r -1+ik r -1r)hat r =2ikr^2,hat r
Logo
j =hbar2im,2ikr^2,hat r =hbar km,r^2,hat r
Como hbar k=p, podemos escrever j=(p/m),r^-2hat r.

Resposta

j( r) =hbar km,r^2,hat r

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