Prove que o potencial magnético escalar em ( 0,0, z ) devido a uma espira circular de raio a no plano x y centrada na origem é
V_{m}=\frac{I}{2}\left[1-\frac{z}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}}\right] \mathrm{A} .

Passo 1

O enunciado dá uma espira circular de raio a localizada no plano xy e centrada na origem, percorrida por uma corrente I. Pede-se provar que o potencial magnético escalar no ponto (0,0,z) é
V_{m}=\frac{I}{2}\left[1-\frac{z}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}}\right]\mathrm{A}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A geometria: espira circular de raio a no plano xy, centro na origem.
  • O ponto onde se quer o potencial: (0,0,z), isto é, sobre o eixo z.
  • A corrente na espira: I.
  • A quantidade a obter é o potencial magnético escalar V_{m} (unidade de ampère, conforme notação do enunciado).
    A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Entendendo o que é o potencial magnético escalar e como relacioná‑lo com a espira.
  • Em magnetostática, no espaço livre de correntes locais (ou seja, fora do fio condutor), o campo \mathbf{H} satisfaz \nabla\times\mathbf{H}=0. Nessa região podemos definir um potencial escalar V_{m} tal que
\mathbf{H}=-\nabla V_{m}.
  • Para uma corrente fechada (a espira), \mathbf{H} não é curl‑free atravessando a superfície que tem a espira como contorno; isso implica que o potencial escalar tem um salto ao atravessar uma superfície delimitada pela espira. Uma maneira prática de obter V_{m} é relacioná‑lo ao ângulo sólido subtendido pela espira no ponto onde se avalia o potencial.
  • Existe uma fórmula prática muito usada: o potencial magnético escalar devido a uma corrente fechada vale
V_{m}=\frac{I}{4\pi}\,\Omega,
onde \Omega é o ângulo sólido (em estereorradianos) subtendido pela superfície limitada pela espira, visto do ponto onde se calcula o potencial. Vou explicar rapidamente a intuição por trás dessa fórmula: integrar a densidade superficial que representa o salto do potencial sobre uma superfície S limitada pela espira dá um múltiplo do ângulo sólido; a constante I/4\pi é escolhida para que o salto do potencial ao atravessar S seja I (condição imposta pela lei de Ampère) e para que V_{m}\to0 no infinito. Não vou fazer aqui uma prova rigorosa da fórmula integral, mas ela é padrão e suficiente para o cálculo pedido.

Passo 3

Calcular o ângulo sólido \Omega subtendido por uma superfície plana circular (o disco de raio a) vista a partir de um ponto no eixo a distância z do centro.
  • Geometria: do ponto (0,0,z) as retas que vão até a borda do disco fazem um semiângulo polar \theta com o eixo z, dado por triângulo reto na seção axial:
\cos\theta=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}.
Explicando: o ponto da borda mais próximo ao eixo tem coordenadas (a,0,0) (em uma seção), a distância até (0,0,z) é \sqrt{z^{2}+a^{2}}; o cosseno do ângulo entre essa reta e o eixo é a projeção z sobre a hipotenusa, daí a fórmula acima.
  • O ângulo sólido subtendido por um disco visto a partir de um ponto no seu eixo principal é a área da “cúpula” correspondente na esfera unitária, e vale
\Omega=2\pi\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Explicando por que: a área de uma calota esférica entre ângulo polar 0 e \theta na esfera unitária é 2\pi(1-\cos\theta) — isso decorre da fórmula da área de uma superfície esférica por integração em coordenadas esféricas: área =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\theta}\sin\varphi\,d\varphi\,d\varphi=2\pi(1-\cos\theta).
  • Substituindo \cos\theta na expressão de \Omega obtemos
\Omega=2\pi\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right).

Passo 4

Aplicar a relação entre V_{m} e \Omega.
  • Usando a fórmula
V_{m}=\frac{I}{4\pi}\,\Omega,
e substituindo \Omega encontrada no passo anterior, temos
V_{m}=\frac{I}{4\pi}\cdot 2\pi\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right).
  • Simplificando os fatores numéricos:
V_{m}=\frac{I}{2}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right).

Passo 5

Checando limites e consistência (bom para ganhar confiança na fórmula).
  • Limite z\to\infty: \sqrt{z^{2}+a^{2}}\approx z, então
V_{m}\approx\frac{I}{2}\left(1-\frac{z}{z}\right)=0,
o que faz sentido físico: longe da espira o potencial escalar tende a zero (escolha de constante).
  • Limite z\to0^{+} (no centro do disco, acima do plano): \sqrt{z^{2}+a^{2}}\to a quando z\to0, logo
V_{m}\to\frac{I}{2}\left(1-0\right)=\frac{I}{2},
ou seja, há um valor finito e diferente de zero no centro, e de fato o potencial tem salto atravessando o plano da espira (esse salto é consistente com a presença da corrente).
Esses cheques rápidos confirmam que a expressão tem comportamento físico coerente.

Resposta

V_{m}=\frac{I}{2}\left[1-\frac{z}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}}\right]\mathrm{A}.

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