Prove que o potencial magnético escalar em (
) devido a uma espira circular de raio
no plano
centrada na origem é
Passo 1
O enunciado dá uma espira circular de raio
localizada no plano
e centrada na origem, percorrida por uma corrente
. Pede-se provar que o potencial magnético escalar no ponto
é
Informações relevantes fornecidas:
- A geometria: espira circular de raio
no plano , centro na origem. - O ponto onde se quer o potencial:
, isto é, sobre o eixo . - A corrente na espira:
. - A quantidade a obter é o potencial magnético escalar
(unidade de ampère, conforme notação do enunciado).
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Entendendo o que é o potencial magnético escalar e como relacioná‑lo com a espira.
- Em magnetostática, no espaço livre de correntes locais (ou seja, fora do fio condutor), o campo
satisfaz . Nessa região podemos definir um potencial escalar tal que
- Para uma corrente fechada (a espira),
não é curl‑free atravessando a superfície que tem a espira como contorno; isso implica que o potencial escalar tem um salto ao atravessar uma superfície delimitada pela espira. Uma maneira prática de obter é relacioná‑lo ao ângulo sólido subtendido pela espira no ponto onde se avalia o potencial. - Existe uma fórmula prática muito usada: o potencial magnético escalar devido a uma corrente fechada vale
onde
é o ângulo sólido (em estereorradianos) subtendido pela superfície limitada pela espira, visto do ponto onde se calcula o potencial. Vou explicar rapidamente a intuição por trás dessa fórmula: integrar a densidade superficial que representa o salto do potencial sobre uma superfície
limitada pela espira dá um múltiplo do ângulo sólido; a constante
é escolhida para que o salto do potencial ao atravessar
seja
(condição imposta pela lei de Ampère) e para que
no infinito. Não vou fazer aqui uma prova rigorosa da fórmula integral, mas ela é padrão e suficiente para o cálculo pedido.
Passo 3
Calcular o ângulo sólido
subtendido por uma superfície plana circular (o disco de raio
) vista a partir de um ponto no eixo a distância
do centro.
- Geometria: do ponto
as retas que vão até a borda do disco fazem um semiângulo polar com o eixo , dado por triângulo reto na seção axial:
Explicando: o ponto da borda mais próximo ao eixo tem coordenadas
(em uma seção), a distância até
é
; o cosseno do ângulo entre essa reta e o eixo é a projeção
sobre a hipotenusa, daí a fórmula acima.
- O ângulo sólido subtendido por um disco visto a partir de um ponto no seu eixo principal é a área da “cúpula” correspondente na esfera unitária, e vale
Explicando por que: a área de uma calota esférica entre ângulo polar
e
na esfera unitária é
— isso decorre da fórmula da área de uma superfície esférica por integração em coordenadas esféricas: área
.
- Substituindo
na expressão de obtemos
Passo 4
Aplicar a relação entre
e
.
- Usando a fórmula
e substituindo
encontrada no passo anterior, temos
- Simplificando os fatores numéricos:
Passo 5
Checando limites e consistência (bom para ganhar confiança na fórmula).
- Limite
: , então
o que faz sentido físico: longe da espira o potencial escalar tende a zero (escolha de constante).
- Limite
(no centro do disco, acima do plano): quando , logo
ou seja, há um valor finito e diferente de zero no centro, e de fato o potencial tem salto atravessando o plano da espira (esse salto é consistente com a presença da corrente).
Esses cheques rápidos confirmam que a expressão tem comportamento físico coerente.
Esses cheques rápidos confirmam que a expressão tem comportamento físico coerente.