Um fio infinitamente longo é percorrido por uma corrente de 2 A ao longo de +z. Calcule:
a) \vec{B} \mathrm{em}(-3,4,7).
b) O fluxo \Phi através da espira quadrada descrita por 2 \leq \rho \leq 6,0 \leq z \leq 4, \varphi=90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo infinito, percorrido por uma corrente de 2\\ \mathrm{A} no sentido +z. Pede-se:
  • (a) calcular o campo magnético \vec{B} no ponto (-3,4,7).
  • (b) calcular o fluxo magnético \Phi através da espira quadrada descrita por 2 \le \rho \le 6, 0 \le z \le 4, em que \varphi=90^\circ (ou seja, superfície fixa em \varphi=\pi/2).
Informações relevantes fornecidas:
  • Corrente: I=2\\ \mathrm{A}.
  • Ponto onde se quer \vec{B}: (-3,4,7) (coordenadas cartesianas).
  • Superfície para fluxo: superfície plana em \varphi=90^\circ, variando \rho de 2 a 6 e z de 0 a 4.

Passo 2

Fórmula para o módulo do campo magnético de um fio infinito (resultado que vamos usar): para um fio retilíneo infinito, o módulo do campo magnético a uma distância \rho do eixo do fio é dado por
B(\rho)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,\rho},
onde:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},
  • I é a corrente no fio,
  • \rho é a distância perpendicular do ponto ao eixo do fio.
Direção do campo: o campo é tangencial às linhas circulares em torno do fio, ou seja, na direção do versor azimutal \hat{\varphi}. O sentido é dado pela regra da mão direita: corrente no sentido +z gera campo na direção de \hat{\varphi} positiva.
(Observação didática rápida: essa expressão pode ser obtida aplicando a lei de Ampère num circuito circular concêntrico com o fio. A integral \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B(2\pi\rho)=\mu_0 I dá a fórmula acima.)

Passo 3

Vamos aplicar isso ao ponto pedido. Primeiro calculamos a distância ao eixo z (a \rho cilíndrica do ponto). Do ponto (-3,4,7) temos
\rho=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Substituindo na fórmula do módulo:
B(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}=\frac{\mu_{0}\cdot 2}{2\pi\cdot 5}=\frac{\mu_{0}}{5\pi}.
Agora trocamos \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, então o módulo numérico é
B=\frac{4\pi\times10^{-7}}{5\pi}=\frac{4\times10^{-7}}{5}=0{,}8\times10^{-7}=8\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Direção em componentes cartesianas: o campo está na direção \hat{\varphi}. Para coordenadas cilíndricas, o versor azimutal é
\hat{\varphi}=(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0).
No ponto (-3,4,7) temos
\cos\varphi=\frac{x}{\rho}=\frac{-3}{5}=-\tfrac{3}{5},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{4}{5}.
Logo
\hat{\varphi}=\Bigl(-\frac{4}{5},\;-\frac{3}{5},\;0\Bigr).
Multiplicando o módulo pelo versor obtemos \vec{B} em componentes cartesianas:
\vec{B}=B\,\hat{\varphi}=8\times10^{-8}\,\Bigl(-\tfrac{4}{5},\;-\tfrac{3}{5},\;0\Bigr) =\Bigl(-6{,}4\times10^{-8},\;-4{,}8\times10^{-8},\;0\Bigr)\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Agora o fluxo magnético pela espira plana em \varphi=90^\circ.
Descrição da superfície: é a superfície plana definida por \varphi=\pi/2, com \rho variando de 2 a 6 e z de 0 a 4. Parametrizamos por (\rho,z)\mapsto ponto no espaço. Um elemento de área nessa superfície é
dA=d\rho\,dz,
e o vetor normal (correspondente a \varphi crescente) é \hat{n}=\hat{\varphi}. (Didática: para superfície em \varphi= const, os vetores tangentes são \hat{\rho} e \hat{z}, ortogonais entre si, logo a normal é \hat{\rho}\times\hat{z}=\hat{\varphi}, e a área de cada elemento é simplesmente d\rho\,dz.)

Passo 6

Montamos a integral do fluxo:
\Phi=\iint_{\text{surf}} \vec{B}\cdot\hat{n}\,dA.
Aqui \vec{B}(\rho)=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\,\hat{\varphi} e \hat{n}=\hat{\varphi}, então o produto escalar é
\vec{B}\cdot\hat{n}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}.
A superfície tem extensão em z de 0 a 4 e em \rho de 2 a 6. Portanto
\Phi=\int_{z=0}^{4}\int_{\rho=2}^{6}\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\,d\rho\,dz.

Passo 7

Realizando as integrais (a integral em z é trivial):
\Phi=\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\left(\int_{0}^{4}dz\right)\left(\int_{2}^{6}\frac{d\rho}{\rho}\right) =\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\cdot 4\cdot \ln\!\left(\frac{6}{2}\right).
Simplificando:
\Phi=\frac{2\mu_{0}I}{\pi}\,\ln 3.
Substituindo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7} e I=2\\ \mathrm{A}:
\Phi= \frac{2\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot 2}{\pi}\ln 3 =16\times10^{-7}\ln 3 =1{,}6\times10^{-6}\ln 3\\ \mathrm{Wb}.
Valor numérico aproximado usando \ln 3\approx 1{,}0986:
\Phi\approx 1{,}6\times10^{-6}\times 1{,}0986 \approx 1{,}758\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.

Resposta

\vec{B}(-3,4,7)=\bigl(-6{,}4\times10^{-8},\;-4{,}8\times10^{-8},\;0\bigr)\\ \mathrm{T}
\Phi=\dfrac{2\mu_{0}I}{\pi}\ln 3 \approx 1{,}758\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}

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