Um fio infinitamente longo é percorrido por uma corrente de 2 A ao longo de
. Calcule:
a)
.
b) O fluxo
através da espira quadrada descrita por
,
.
a)
b) O fluxo
Passo 1
O enunciado dá um fio retilíneo infinito, percorrido por uma corrente de
no sentido
. Pede-se:
- (a) calcular o campo magnético
no ponto . - (b) calcular o fluxo magnético
através da espira quadrada descrita por , , em que (ou seja, superfície fixa em ).
Informações relevantes fornecidas:
- Corrente:
. - Ponto onde se quer
: (coordenadas cartesianas). - Superfície para fluxo: superfície plana em
, variando de a e de a .
Passo 2
Fórmula para o módulo do campo magnético de um fio infinito (resultado que vamos usar): para um fio retilíneo infinito, o módulo do campo magnético a uma distância
do eixo do fio é dado por
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, , -
é a corrente no fio, -
é a distância perpendicular do ponto ao eixo do fio.
Direção do campo: o campo é tangencial às linhas circulares em torno do fio, ou seja, na direção do versor azimutal
. O sentido é dado pela regra da mão direita: corrente no sentido
gera campo na direção de
positiva.
(Observação didática rápida: essa expressão pode ser obtida aplicando a lei de Ampère num circuito circular concêntrico com o fio. A integral
dá a fórmula acima.)
Passo 3
Vamos aplicar isso ao ponto pedido. Primeiro calculamos a distância ao eixo
(a
cilíndrica do ponto). Do ponto
temos
Substituindo na fórmula do módulo:
Agora trocamos
, então o módulo numérico é
Passo 4
Direção em componentes cartesianas: o campo está na direção
. Para coordenadas cilíndricas, o versor azimutal é
No ponto
temos
Logo
Multiplicando o módulo pelo versor obtemos
em componentes cartesianas:
Passo 5
Agora o fluxo magnético pela espira plana em
.
Descrição da superfície: é a superfície plana definida por
, com
variando de
a
e
de
a
. Parametrizamos por
ponto no espaço. Um elemento de área nessa superfície é
e o vetor normal (correspondente a
crescente) é
. (Didática: para superfície em
const, os vetores tangentes são
e
, ortogonais entre si, logo a normal é
, e a área de cada elemento é simplesmente
.)
Passo 6
Montamos a integral do fluxo:
Aqui
e
, então o produto escalar é
A superfície tem extensão em
de
a
e em
de
a
. Portanto
Passo 7
Realizando as integrais (a integral em
é trivial):
Simplificando:
Substituindo
e
:
Valor numérico aproximado usando
: