Em coordenadas cilíndricas,
. Determine o fluxo magnético
que atravessa a superfície plana limitada por
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Campo magnético dado (em coordenadas cilíndricas):
. - A superfície é plana e limitada pelas coordenadas:
e . (Esses limites foram retirados do enunciado.) - O enunciado pede o fluxo magnético
que atravessa essa superfície.
Observação importante que será usada depois: em coordenadas cilíndricas os vetores unitários são
,
e
.
Passo 2
Entender a geometria da superfície e a direção do elemento de área.
- A superfície descrita por variações em
e com algum fixo é o “plano radial-axial” (um retângulo num plano que corta o cilindro radialmente). Ou seja, é a superfície de equação com e . - Para uma superfície em
constante, um parâmetro conveniente é usar e . A posição de um ponto nela pode ser escrita como . - Os vetores tangentes são
O vetor área orientado (elemento de área vetorial) é - Usando as regras das bases cílindricas (cíclicas), tem-se
. Portanto, pelo parametrização natural acima, Isso significa que, com a ordem de parâmetros , o normal da superfície aponta em . Se preferirmos o normal em (só uma escolha de orientação), usamos e então tomamos o sinal oposto no resultado do integral. Vou escolher a orientação em para obter fluxo positivo (mas explico o sinal explicito adiante).
Passo 3
Escrever a definição de fluxo e montar o integral.
- Definição: o fluxo magnético através de uma superfície
é - Para nossa escolha de orientação (normal em
), o elemento de área vetorial é . - O campo tem componente somente azimutal:
com . - Então o produto escalar é simples:
- O integral do fluxo fica
Passo 4
Calcular a integral em
(a parte que depende de
).
- A primitiva de
em relação a é . Então - Usando propriedades de logaritmo,
Portanto a integral em vale .
Passo 5
Calcular o restante (integral em
), obter o resultado fechado e a aproximação numérica; tratar sinal/orientação.
- A integral em
é trivial pois o integrando após integrar em é constante: - Unidades:
estava em tesla e área em , então fica em webers . Assim o resultado exato é - Aproximação numérica:
, logo - Observação sobre sinal: se tivéssemos mantido a parametrização natural (onde
), o integral daria . Ambos estão corretos — representam fluxos com orientações opostas. Aqui apresentei o valor positivo assumindo normal em .
Passo 6
Verificação rápida e comentário didático (como checar mentalmente).
- Intuição:
é tangencial (azimutal). A superfície escolhida é precisamente aquela cuja normal é azimutal; por isso há fluxo não nulo. Se a superfície fosse horizontal (superfície em constante, normal ), então e o fluxo seria zero — é um bom check mental. - A integral reduziu a um
típico em coordenadas cilíndricas quando aparece no denominador; lembrar disso ajuda em prova: integrar gera logaritmo.