Em coordenadas cilíndricas, \vec{B}=\frac{2}{\rho} \hat{a}_{\varphi} \mathrm{T}. Determine o fluxo magnético \Phi que atravessa a superfície plana limitada por 0,5 \leq \rho \leq 2,5 \mathrm{~m} e 0 \leq z \leq 2 \mathrm{~m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campo magnético dado (em coordenadas cilíndricas): \vec{B}=\dfrac{2}{\rho}\,\hat{a}_{\varphi}\\ \mathrm{T}.
  • A superfície é plana e limitada pelas coordenadas: 0{,}5 \le \rho \le 2{,}5\\ \mathrm{m} e 0 \le z \le 2\\ \mathrm{m}. (Esses limites foram retirados do enunciado.)
  • O enunciado pede o fluxo magnético \Phi que atravessa essa superfície.
Observação importante que será usada depois: em coordenadas cilíndricas os vetores unitários são \hat{a}_{\rho}, \hat{a}_{\varphi} e \hat{a}_{z}.

Passo 2

Entender a geometria da superfície e a direção do elemento de área.
  • A superfície descrita por variações em \rho e z com algum \varphi fixo é o “plano radial-axial” (um retângulo num plano que corta o cilindro radialmente). Ou seja, é a superfície de equação \varphi=\phi_0 com 0{,}5\le\rho\le2{,}5 e 0\le z\le2.
  • Para uma superfície em \varphi= constante, um parâmetro conveniente é usar \rho e z. A posição de um ponto nela pode ser escrita como \vec{r}(\rho,z)=\rho\,\hat{a}_{\rho}(\phi_0)+z\,\hat{a}_{z}.
  • Os vetores tangentes são \frac{\partial\vec{r}}{\partial\rho}=\hat{a}_{\rho},\qquad \frac{\partial\vec{r}}{\partial z}=\hat{a}_{z}.O vetor área orientado (elemento de área vetorial) é d\vec{A}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\rho}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial z}\,d\rho\,dz =\hat{a}_{\rho}\times\hat{a}_{z}\,d\rho\,dz.
  • Usando as regras das bases cílindricas (cíclicas), tem-se \hat{a}_{\rho}\times\hat{a}_{z}=-\hat{a}_{\varphi}. Portanto, pelo parametrização natural acima, d\vec{A}=-\hat{a}_{\varphi}\,d\rho\,dz.Isso significa que, com a ordem de parâmetros (\rho,z), o normal da superfície aponta em -\hat{a}_{\varphi}. Se preferirmos o normal em +\hat{a}_{\varphi} (só uma escolha de orientação), usamos d\vec{A}=+\hat{a}_{\varphi}\,d\rho\,dz e então tomamos o sinal oposto no resultado do integral. Vou escolher a orientação em +\hat{a}_{\varphi} para obter fluxo positivo (mas explico o sinal explicito adiante).

Passo 3

Escrever a definição de fluxo e montar o integral.
  • Definição: o fluxo magnético através de uma superfície S é \Phi=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A}.
  • Para nossa escolha de orientação (normal em +\hat{a}_{\varphi}), o elemento de área vetorial é d\vec{A}=+\hat{a}_{\varphi}\,d\rho\,dz.
  • O campo tem componente somente azimutal: \vec{B}=B_{\varphi}\,\hat{a}_{\varphi} com B_{\varphi}=\dfrac{2}{\rho}.
  • Então o produto escalar é simples: \vec{B}\cdot d\vec{A}=B_{\varphi}\,(\hat{a}_{\varphi}\cdot\hat{a}_{\varphi})\,d\rho\,dz =\frac{2}{\rho}\,d\rho\,dz.
  • O integral do fluxo fica \Phi=\int_{z=0}^{2}\int_{\rho=0{,}5}^{2{,}5}\frac{2}{\rho}\,d\rho\,dz.

Passo 4

Calcular a integral em \rho (a parte que depende de \rho).
  • A primitiva de \dfrac{2}{\rho} em relação a \rho é 2\ln\rho. Então \int_{\rho=0{,}5}^{2{,}5}\frac{2}{\rho}\,d\rho =\left.2\ln\rho\right|_{0{,}5}^{2{,}5} =2\bigl(\ln(2{,}5)-\ln(0{,}5)\bigr).
  • Usando propriedades de logaritmo, \ln(2{,}5)-\ln(0{,}5)=\ln\!\left(\frac{2{,}5}{0{,}5}\right)=\ln(5).Portanto a integral em \rho vale 2\ln 5.

Passo 5

Calcular o restante (integral em z), obter o resultado fechado e a aproximação numérica; tratar sinal/orientação.
  • A integral em z é trivial pois o integrando após integrar em \rho é constante: \Phi=\int_{z=0}^{2}\bigl(2\ln 5\bigr)\,dz =2\ln 5\cdot\left.z\right|_{0}^{2} =2\ln 5\cdot 2 =4\ln 5.
  • Unidades: \vec{B} estava em tesla e área em \mathrm{m}^2, então \Phi fica em webers (\mathrm{Wb}). Assim o resultado exato é \Phi=4\ln 5\\ \mathrm{Wb}.
  • Aproximação numérica: \ln 5\approx1{,}6094379, logo \Phi\approx 4\times1{,}6094379\approx6{,}4378\\ \mathrm{Wb}\approx6{,}44\\ \mathrm{Wb}.
  • Observação sobre sinal: se tivéssemos mantido a parametrização natural (onde d\vec{A}=-\hat{a}_{\varphi}\,d\rho\,dz), o integral daria \Phi=-4\ln 5. Ambos estão corretos — representam fluxos com orientações opostas. Aqui apresentei o valor positivo assumindo normal em +\hat{a}_{\varphi}.

Passo 6

Verificação rápida e comentário didático (como checar mentalmente).
  • Intuição: \vec{B} é tangencial (azimutal). A superfície escolhida é precisamente aquela cuja normal é azimutal; por isso há fluxo não nulo. Se a superfície fosse horizontal (superfície em z= constante, normal \hat{a}_z), então \vec{B}\cdot\hat{a}_z=0 e o fluxo seria zero — é um bom check mental.
  • A integral reduziu a um \int (1/\rho)\,d\rho típico em coordenadas cilíndricas quando aparece \rho no denominador; lembrar disso ajuda em prova: integrar 1/\rho gera logaritmo.

Resposta

\Phi=4\ln 5\\ \mathrm{Wb}\approx6{,}44\\ \mathrm{Wb}

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