Prove que, em regime permanente estacionário, \lambda_{f}=L_{f} i_{f}+k M_{f} i_{d}, com k=\sqrt{3 / 2}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, em regime permanente estacionário de um gerador síncrono trifásico, que a ligação de fluxo no enrolamento de campo satisfaz
\lambda_{f} \;=\; L_{f}\,i_{f} \;+\; k\,M_{f}\,i_{d}
com k=\sqrt{\tfrac{3}{2}}.
Conteúdo: modelo de eixos direto–quadratura (transformada de Park), definição de correntes de eixo d e acoplamento magnético via indutâncias mútua e própria.

Passo 2

Em geral, a ligação de fluxo da bobina de campo é soma da auto-indução mais todas as mutualidades com cada fase do estator. Escrevemos
\lambda_{f}(t) = L_{f}\,i_{f}(t) + \sum_{k\in\{a,b,c\}} M_{fk}\,i_{k}(t).
Por simetria trifásica, a mutualidade depende apenas do desvio angular entre o eixo de campo (ângulo \theta) e o eixo de cada fase k:
M_{fk}=M_{f}\,\cos\bigl(\theta-\theta_{k}\bigr),
onde \theta_{a}=0, \theta_{b}=120^\circ, \theta_{c}=-120^\circ. Logo
\lambda_{f} = L_{f}\,i_{f} + M_{f}\bigl[i_{a}\cos\theta + i_{b}\cos(\theta-120^\circ)+ i_{c}\cos(\theta+120^\circ)\bigr].

Passo 3

Em regime permanente estacionário temos correntes balanceadas trifásicas sinusoidais e definimos a componente de eixo direto i_{d} pela transformada de Park em forma de potência invariante:
i_{d} = \sqrt{\tfrac{2}{3}}\;\bigl[i_{a}\cos\theta + i_{b}\cos(\theta-120^\circ) + i_{c}\cos(\theta+120^\circ)\bigr].
Isso implica
i_{a}\cos\theta + i_{b}\cos(\theta-120^\circ) + i_{c}\cos(\theta+120^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2/3}}\;i_{d} = \sqrt{\tfrac{3}{2}}\;i_{d}.

Passo 4

Substituindo essa soma na expressão de \lambda_{f} do Passo 2 ficamos com
\lambda_{f} = L_{f}\,i_{f} + M_{f}\,\Bigl(\sqrt{\tfrac{3}{2}}\,i_{d}\Bigr) = L_{f}\,i_{f} + \sqrt{\tfrac{3}{2}}\,M_{f}\,i_{d}.
Portanto o coeficiente procurado é
k=\sqrt{\tfrac{3}{2}}.

Resposta

\lambda_{f}=L_{f}\,i_{f}+\sqrt{\tfrac{3}{2}}\,M_{f}\,i_{d},
ou seja k=\sqrt{3/2}.

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