Qual a transformada modificada de Park e quais são as vantagens da sua utilização?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a transformada modificada de Park (conteúdo: transformações de referência em sistemas trifásicos) e explicarmos as suas vantagens. Para isso vamos:
  1. apresentar o conceito geral e sua relação com as variáveis de fase a, b, c;
  2. escrever a forma matricial (incluindo o componente de sequência zero);
  3. discutir as vantagens de sua utilização em sistemas de controle de máquinas e conversores.

Passo 2

A transformada de Park leva as tensões ou correntes trifásicas em variáveis estacionárias \{a,b,c\} para um referencial girante \{d,q,0\}. A versão modificada inclui o eixo de sequência zero e é invariante de potência, ou seja, preserva a potência instantânea. Em termos gerais:
\begin{pmatrix} x_d \\[6pt] x_q \\[6pt] x_0 \end{pmatrix} = T_P(\theta)\, \begin{pmatrix} x_a \\[4pt] x_b \\[4pt] x_c \end{pmatrix},
onde x pode ser tensão ou corrente, \theta é o ângulo de referência rotativo (por exemplo, posição do rotor) e T_P(\theta) é a matriz 3\times 3 que descrevemos a seguir.]

Passo 3

A forma power-invariant da matriz T_P(\theta) é
T_P(\theta) =\frac{2}{3} \begin{pmatrix} \cos\!\bigl(\theta\bigr) & \cos\!\bigl(\theta-\tfrac{2\pi}{3}\bigr) & \cos\!\bigl(\theta+\tfrac{2\pi}{3}\bigr) \\[6pt] -\sin\!\bigl(\theta\bigr) & -\sin\!\bigl(\theta-\tfrac{2\pi}{3}\bigr) & -\sin\!\bigl(\theta+\tfrac{2\pi}{3}\bigr)\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
As duas primeiras linhas geram as componentes d e q girantes; a terceira linha capta a componente de sequência zero 0.]

Passo 4

As principais vantagens da transformada modificada de Park são:
  • Invariância de potência: a transformação não altera a potência instantânea, facilitando análise e controle em regimes variáveis.
  • Separação de eixos: desacopla as componentes de fluxo d e torque q em máquinas síncronas e de indução, permitindo controle vetorial com reguladores PI independentes.
  • Inclusão do zero: trata sistemas desequilibrados ou com sequência homopolar, pois contempla a componente de sequência zero.
  • Redução de harmônicos: em regime permanente torna as variáveis d e q praticamente constantes (em sistemas balanceados), simplificando a malha de controle.
  • Implementação digital: matriz fixa e funções seno/cosseno pré-calculadas tornam-na eficiente em DSPs e FPGAs.

Resposta

A transformada modificada de Park é a transformação tridimensional
\begin{pmatrix} x_d \\\ x_q \\\ x_0 \end{pmatrix} = \frac{2}{3} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \cos(\theta-\tfrac{2\pi}{3}) & \cos(\theta+\tfrac{2\pi}{3})\\\\ -\sin(\theta) & -\sin(\theta-\tfrac{2\pi}{3}) & -\sin(\theta+\tfrac{2\pi}{3})\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_a \\\ x_b \\\ x_c \end{pmatrix},
que é invariante de potência e inclui a componente de sequência zero. Suas vantagens são:
(a) preserva a potência instantânea;
(b) desacopla fluxo e torque para controle vetorial;
(c) permite tratar desequilíbrios (componente zero);
(d) reduz harmonias em regime permanente;
(e) é de fácil implementação em DSP/FPGA.

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