1. Prove a seguinte fórmula como válida com o sistema axiomático A :
((A \rightarrow B) \rightarrow A) \rightarrow A

Passo 1

Estamos trabalhando no cálculo proposicional clássico com o sistema axiomático A, cujas esquemas de axiomas são:
A1: \;P\rightarrow(Q\rightarrow P)
A2: \;(P\rightarrow(Q\rightarrow R))\rightarrow\bigl((P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R)\bigr)
A3: \;((P\rightarrow Q)\rightarrow P)\rightarrow P
e a única regra de inferência é a Modus Ponens.
Na questão, queremos mostrar que
((A\rightarrow B)\rightarrow A)\rightarrow A
é teorema (isto é, derivável) nesse sistema.

Passo 2

Observe que o esquema A3 é exatamente
((P\rightarrow Q)\rightarrow P)\rightarrow P.
Basta agora fazer a substituição de metaproposições
P := A \quad\text{e}\quad Q := B
nesse esquema. Feita essa instanciação, o axioma A3 torna‐se exatamente
((A\rightarrow B)\rightarrow A)\rightarrow A.
Como toda instância de esquema de axioma é admitida sem necessidade de prova adicional, obtemos de imediato o enunciado desejado.

Resposta

((A\rightarrow B)\rightarrow A)\rightarrow A
é uma instância do axioma A3, logo é teorema do sistema A.

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