1. Prove a tautologia usando o sistema axiomático A :
(A \rightarrow B) \rightarrow((C \rightarrow A) \rightarrow(C \rightarrow B))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no sistema axiomático A (Hilbert), que a seguinte fórmula é teorema:
(A\rightarrow B)\rightarrow\bigl((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B)\bigr).
Lembrando os axiomas e regra de A:
Axioma 1: \varphi\rightarrow(\psi\rightarrow\varphi)
Axioma 2: \bigl(\varphi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi)\bigr)\rightarrow\bigl((\varphi\rightarrow\psi)\rightarrow(\varphi\rightarrow\chi)\bigr)
Axioma 3: \bigl(\neg\varphi\rightarrow\neg\psi\bigr)\rightarrow(\psi\rightarrow\varphi)
Regra de inferência: modus ponens.

Passo 2

Instanciando o Axioma 2 com \varphi=C, \psi=A e \chi=B, obtemos:
(C\rightarrow(A\rightarrow B))\rightarrow\bigl((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B)\bigr).

Passo 3

Instanciando o Axioma 1 com \varphi=(A\rightarrow B) e \psi=C, temos:
(A\rightarrow B)\rightarrow\bigl(C\rightarrow(A\rightarrow B)\bigr).

Passo 4

Instanciando o Axioma 1 com \varphi=(C\rightarrow(A\rightarrow B))\rightarrow((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B))
e \psi=(A\rightarrow B), segue:
\bigl[(C\rightarrow(A\rightarrow B))\rightarrow((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B))\bigr]\rightarrow\bigl[(A\rightarrow B)\rightarrow\bigl((C\rightarrow(A\rightarrow B))\rightarrow((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B))\bigr)\bigr].

Passo 5

Pelo modo ponens em

Passo 6

(A\rightarrow B)\rightarrow\bigl((C\rightarrow(A\rightarrow B))\rightarrow((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B))\bigr).

Passo 7

Instanciando o Axioma 2 com \varphi=(A\rightarrow B), \psi=C\rightarrow(A\rightarrow B)
e \chi=(C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B), obtemos:
\bigl[(A\rightarrow B)\rightarrow\bigl((C\rightarrow(A\rightarrow B))\rightarrow((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B))\bigr)\bigr]\rightarrow\bigl[\bigl((A\rightarrow B)\rightarrow(C\rightarrow(A\rightarrow B))\bigr)\rightarrow\bigl((A\rightarrow B)\rightarrow((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B))\bigr)\bigr].

Passo 8

Pelo modo ponens em

Passo 9

\bigl((A\rightarrow B)\rightarrow(C\rightarrow(A\rightarrow B))\bigr)\rightarrow\bigl((A\rightarrow B)\rightarrow((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B))\bigr).

Passo 10

Finalmente, pelo modo ponens em

Passo 11

(A\rightarrow B)\rightarrow\bigl((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B)\bigr),
que é exatamente o teorema desejado.

Resposta

(A\rightarrow B)\rightarrow\bigl((C\rightarrow A)\rightarrow(C\rightarrow B)\bigr).

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