Prove o seguinte:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá duas desigualdades envolvendo números reais:
-
. -
.
O que precisa ser provado é a desigualdade
Passo 2
Vamos lembrar algumas propriedades básicas de desigualdades que vou usar (explicando devagar):
- Se
e , então . Ou seja, produto de números positivos é positivo. - Se
e , então . Produto de não-negativos é não-negativo. - Se
e , então . Soma de um positivo com um não-negativo é positiva.
Vou usar essas ideias para mostrar que a diferençaé positiva, o que é equivalente a .
Passo 3
Observe primeiro que das hipóteses segue que
. De fato,
implica
.
Também da hipótese
segue que
e, em particular,
.
E da hipótese
segue
.
Passo 4
Calculo a diferença procurada e fatoro de modo conveniente:
Esta identidade é apenas expansão e recolhimento de termos; vale para quaisquer números reais.
Passo 5
Agora examino o sinal de cada parcela na soma da direita:
- Pela Observação do Passo 3,
e . Portanto (produto de dois positivos é positivo). - Também por Observação do Passo 3,
e . Portanto (produto de não-negativo por positivo é não-negativo).
Somando as duas parcelas obtém-se
Logo
.
Passo 6
Da desigualdade
segue imediatamente que
, que é exatamente o que queríamos provar.
(Eu escolhi essa prova por fatoração porque evita tratar vários subcasos separados e usa apenas fatos elementares sobre sinais de números; outra abordagem seria multiplicar desigualdades sabendo que multiplicação por número positivo preserva a ordem, mas aí haveria que verificar sinais de
e
em separado.)