Prove o seguinte:
Se 0 \leq a<b e 0 \leq c<d, então a \cdot c<b \cdot d.

Passo 1

O enunciado dá duas desigualdades envolvendo números reais:
  • 0 \leq a < b.
  • 0 \leq c < d.
O que precisa ser provado é a desigualdade
a\cdot c < b\cdot d.

Passo 2

Vamos lembrar algumas propriedades básicas de desigualdades que vou usar (explicando devagar):
  • Se x>0 e y>0, então x\cdot y>0. Ou seja, produto de números positivos é positivo.
  • Se x\ge 0 e y\ge 0, então x\cdot y\ge 0. Produto de não-negativos é não-negativo.
  • Se u>0 e v\ge 0, então u+v>0. Soma de um positivo com um não-negativo é positiva.
    Vou usar essas ideias para mostrar que a diferença b d - a c é positiva, o que é equivalente a a c < b d.

Passo 3

Observe primeiro que das hipóteses segue que b-a>0. De fato, a<b implica b-a>0.
Também da hipótese 0 \le c<d segue que d-c>0 e, em particular, d>0.
E da hipótese 0\le a segue a\ge 0.

Passo 4

Calculo a diferença procurada e fatoro de modo conveniente:
b d - a c = (b-a)d + a(d-c).
Esta identidade é apenas expansão e recolhimento de termos; vale para quaisquer números reais.

Passo 5

Agora examino o sinal de cada parcela na soma da direita:
  • Pela Observação do Passo 3, b-a>0 e d>0. Portanto (b-a)d>0 (produto de dois positivos é positivo).
  • Também por Observação do Passo 3, a\ge 0 e d-c>0. Portanto a(d-c)\ge 0 (produto de não-negativo por positivo é não-negativo).
Somando as duas parcelas obtém-se
(b-a)d + a(d-c) > 0 + 0 = 0.
Logo b d - a c > 0.

Passo 6

Da desigualdade b d - a c > 0 segue imediatamente que a c < b d, que é exatamente o que queríamos provar.
(Eu escolhi essa prova por fatoração porque evita tratar vários subcasos separados e usa apenas fatos elementares sobre sinais de números; outra abordagem seria multiplicar desigualdades sabendo que multiplicação por número positivo preserva a ordem, mas aí haveria que verificar sinais de b e d em separado.)

Resposta

a\cdot c<b\cdot d

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