Prove o seguinte:
Se
, então
. (Use (viii).)
Se
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para provar que
Também foi pedido para usar a propriedade (viii). Vamos explicitar (viii) aqui (é a regra que vamos aplicar): se
e
, então
Não vamos resolver ainda: só anotar o que temos e o que queremos.
Passo 2
Primeira observação simples e útil: a partir de
segue que
. Explico por que: se
então, como
, teríamos
e portanto não poderia ocorrer
. Logo necessariamente
. Em símbolos:
.
Passo 3
Vamos separar os casos possíveis para
, porque a propriedade (viii) exige multiplicador positivo. Existem só dois casos compatíveis com
: (i)
e (ii)
. Trataremos cada caso.
Passo 4
Caso (i):
.
Então . Como vimos no Passo 2,
, logo
. Portanto
Então
e o resultado é verdadeiro neste caso.
Passo 5
Caso (ii):
.
Agora tanto quanto
são positivos. Aplicamos (viii) à desigualdade
com multiplicador
. Pela propriedade (viii) obtemos
Agora tanto
ou seja
Passo 6
Ainda no caso (ii), aplicamos (viii) à mesma desigualdade
mas agora multiplicando por
. Assim
ou seja
Passo 7
Combinando as desigualdades obtidas nos Passos 5 e 6, obtemos a cadeia
da qual segue imediatamente
Isso conclui a prova no caso
.
Passo 8
Como os dois possíveis casos (
e
) levam à mesma conclusão
, concluímos que sempre que
vale
.