Prove o seguinte:
Se 0 \leq a<b, então a^{2}<b^{2}. (Use (viii).)

Passo 1

O enunciado dá a informação
0 \leq a < b,
e pede para provar que
a^{2} < b^{2}.
Também foi pedido para usar a propriedade (viii). Vamos explicitar (viii) aqui (é a regra que vamos aplicar): se x<y e c>0, então
cx<cy.
Não vamos resolver ainda: só anotar o que temos e o que queremos.

Passo 2

Primeira observação simples e útil: a partir de 0 \leq a < b segue que b>0. Explico por que: se b\le 0 então, como a\ge 0, teríamos a\le 0 e portanto não poderia ocorrer a<b. Logo necessariamente b>0. Em símbolos: 0\le a<b\Rightarrow b>0.

Passo 3

Vamos separar os casos possíveis para a, porque a propriedade (viii) exige multiplicador positivo. Existem só dois casos compatíveis com 0\le a<b: (i) a=0 e (ii) a>0. Trataremos cada caso.

Passo 4

Caso (i): a=0.
Então a^{2}=0. Como vimos no Passo 2, b>0, logo b^{2}>0. Portanto
a^{2}=0 < b^{2},
e o resultado é verdadeiro neste caso.

Passo 5

Caso (ii): a>0.
Agora tanto a quanto b são positivos. Aplicamos (viii) à desigualdade a<b com multiplicador a>0. Pela propriedade (viii) obtemos
a\cdot a < a\cdot b,
ou seja
a^{2} < ab.

Passo 6

Ainda no caso (ii), aplicamos (viii) à mesma desigualdade a<b mas agora multiplicando por b>0. Assim
b\cdot a < b\cdot b,
ou seja
ab < b^{2}.

Passo 7

Combinando as desigualdades obtidas nos Passos 5 e 6, obtemos a cadeia
a^{2} < ab < b^{2},
da qual segue imediatamente
a^{2} < b^{2}.
Isso conclui a prova no caso a>0.

Passo 8

Como os dois possíveis casos ( a=0 e a>0) levam à mesma conclusão a^{2}<b^{2}, concluímos que sempre que 0\le a<b vale a^{2}<b^{2}.

Resposta

a^{2}<b^{2}

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