Prove que as seguinte séries são divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n z}, com z \in \mathbb{C}-\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+nz}
não converge.
Conteúdo envolvido: testes de convergência de séries de termos complexos e o fato de que, para uma série complexa convergir, suas partes real e imaginária também devem convergir. Aqui vamos mostrar que a parte imaginária dos termos se comporta como 1/n e, portanto, diverge por comparação com a série harmônica.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{1}{1+nz},\qquad b_n = \frac{1}{nz}.
Então
a_n - b_n = \frac{1}{1+nz} - \frac{1}{nz} = \frac{1}{nz}\Bigl(\frac{1}{1+\tfrac1{nz}} - 1\Bigr) = \frac{1}{nz}\;\frac{-\,\tfrac1{nz}}{1+\tfrac1{nz}} = -\,\frac{1}{n^2z^2}\;\frac{1}{1+\tfrac1{nz}}.
Para estimar o erro, note que \bigl|\tfrac1{nz}\bigr|=1/(n|z|). Escolha N_1 tal que, para todo n\ge N_1,
\bigl|\tfrac1{nz}\bigr|<\tfrac12,
então \bigl|1+\tfrac1{nz}\bigr|\ge\tfrac12 e
\bigl|a_n - b_n\bigr| \le \frac{1}{n^2|z|^2}\;\frac{1}{\tfrac12} = \frac{2}{n^2|z|^2}\quad\text{para }n\ge N_1.

Passo 3

Calcule a parte imaginária de b_n:
b_n = \frac{1}{nz} = \frac{1}{n}\,\frac{\overline z}{|z|^2} \quad\Longrightarrow\quad \Im(b_n) = \frac{1}{n}\,\frac{\Im(\overline z)}{|z|^2} = -\,\frac{\Im(z)}{n\,|z|^2}.
Logo, para n\ge N_1,
\bigl|\Im(a_n)-\Im(b_n)\bigr| \le \bigl|a_n-b_n\bigr| \le \frac{2}{n^2|z|^2}.
Escolha agora N_2\ge N_1 tal que, para todo n\ge N_2,
\frac{2}{n^2|z|^2}\le \frac{1}{2}\,\bigl|\Im(b_n)\bigr| = \frac{1}{2}\,\frac{|\Im(z)|}{n\,|z|^2}.
Daí, para n\ge N_2,
\bigl|\Im(a_n)-(-\tfrac{\Im(z)}{n|z|^2})\bigr| \le \frac{|\Im(z)|}{2\,n\,|z|^2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\Im(a_n)\bigr| \ge \frac{|\Im(z)|}{2\,n\,|z|^2}.
Além disso, como \Im(z)\neq0, os \Im(a_n) têm sinal constante para n\ge N_2.

Passo 4

Como, a partir de n=N_2, todos os \Im(a_n) têm sinal fixo (não alternam) e satisfazem
\bigl|\Im(a_n)\bigr|\ge \frac{|\Im(z)|}{2\,|z|^2}\,\frac1n,
a comparação com a série harmônica mostra que
\sum_{n=1}^\infty \Im(a_n)
diverge (é equivalente a um múltiplo de \sum1/n). Logo, a parte imaginária dos somatórios parciais não converge, e portanto a série original \sum a_n diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+nz} diverge para todo z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}.

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