Prove que as seguinte séries são divergentes: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n z}, com z \in \mathbb{C}-\mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+nz}
não converge.
Conteúdo envolvido: testes de convergência de séries de termos complexos e o fato de que, para uma série complexa convergir, suas partes real e imaginária também devem convergir. Aqui vamos mostrar que a parte imaginária dos termos se comporta como 1/n e, portanto, diverge por comparação com a série harmônica.
diverge (é equivalente a um múltiplo de \sum1/n). Logo, a parte imaginária dos somatórios parciais não converge, e portanto a série original \sum a_n diverge.
Resposta
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+nz} diverge para todo z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}.