Prove o seguinte Teorema
Teorema 2 Seja
uma função contínua em um conjunto
fechado e limitado, então existe um ponto
tal que
onde
denota a área do conjunto
.
Dica: utilize o Teorema do valor intermediário em algum momento.
Dica: utilize o Teorema do valor intermediário em algum momento.
Passo 1
A questão quer provar que uma função contínua f em um domínio compacto D ⊂ ℝ² atinge a sua média integral em algum ponto de D. O conteúdo envolve valor médio de integrais duplas e o Teorema do Valor Intermediário, pois vamos usar que f(D) é um intervalo.
Passo 2
Como D é fechado e limitado, ou seja, compacto em ℝ², e f é contínua, sabemos por um resultado de análise que f atinge valor mínimo m e valor máximo M em D. Portanto, existem (x₁,y₁),(x₂,y₂) em D tais que
para todo (x,y) em D.
Passo 3
Agora, integramos essas desigualdades em D. Como m e M são constantes, temos
ou seja
Dividindo por A(D)>0, obtemos
Passo 4
Chamamos de
esse valor médio. Como m ≤ \overline f ≤ M e o conjunto f(D) é o intervalo [m,M], o Teorema do Valor Intermediário garante que existe (x₀,y₀) em D tal que
Resposta
Existe (x₀,y₀) em D tal que f(x₀,y₀)=\tfrac1{A(D)}\iint_D f(x,y),dA.