Prove o seguinte Teorema
Teorema 2 Seja f: R^2 R uma função contínua em um conjunto D fechado e limitado, então existe um ponto 1A(D) integral duplaD f(x, y) d A=f(x0, y0) tal que
A(D)
onde D denota a área do conjunto .
Dica: utilize o Teorema do valor intermediário em algum momento.

Passo 1

A questão quer provar que uma função contínua f em um domínio compacto D ⊂ ℝ² atinge a sua média integral em algum ponto de D. O conteúdo envolve valor médio de integrais duplas e o Teorema do Valor Intermediário, pois vamos usar que f(D) é um intervalo.

Passo 2

Como D é fechado e limitado, ou seja, compacto em ℝ², e f é contínua, sabemos por um resultado de análise que f atinge valor mínimo m e valor máximo M em D. Portanto, existem (x₁,y₁),(x₂,y₂) em D tais que
m = f(x₁,y₁) <= f(x,y) <= f(x₂,y₂) = M
para todo (x,y) em D.

Passo 3

Agora, integramos essas desigualdades em D. Como m e M são constantes, temos
integral duplaD m,dA <= integral duplaD f(x,y),dA <= integral duplaD M,dA
ou seja
m,A(D) <= integral duplaD f(x,y),dA <= M,A(D)
Dividindo por A(D)>0, obtemos
m <= 1A(D)integral duplaD f(x,y),dA <= M

Passo 4

Chamamos de overline f=tfrac1A(D)integral duplaD f,dA esse valor médio. Como m ≤ \overline f ≤ M e o conjunto f(D) é o intervalo [m,M], o Teorema do Valor Intermediário garante que existe (x₀,y₀) em D tal que
f(x₀,y₀)=overline f

Resposta

Existe (x₀,y₀) em D tal que f(x₀,y₀)=\tfrac1{A(D)}\iint_D f(x,y),dA.

Exercícios relacionados