1-18 Encontre f^prime(x).
f(x)=sen xx^2+sen x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de uma função do tipo quociente, ou seja, f(x)=dfracsin xx^2+sin x. O conteúdo é derivada de quociente e precisamos conhecer as derivadas básicas de sin x e de x^2.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, definimos g(x)=sin x e h(x)=x^2+sin x. Suas derivadas são: g'(x)=cos x e h'(x)=2x+cos x. A regra do quociente diz que
f'(x)=g'(x)cdot h(x)-g(x)cdot h'(x)[h(x)]^2=cos x,(x^2+sin x)-sin x,(2x+cos x)(x^2+sin x)^2

Passo 3

Agora vamos simplificar o numerador:
cos x,x^2+cos x,sin x-2x,sin x-sin x,cos x.
Os termos +cos x,sin x e -sin x,cos x se anulam, sobrando
x^2cos x-2xsin x=x,(xcos x-2sin x)

Passo 4

Logo, a forma mais enxuta da derivada é
f'(x)=x,(xcos x-2sin x)(x^2+sin x)^2

Resposta

f'(x)=dfracx,l(xcos x-2sin xr)(x^2+sin x)^2.

Exercícios relacionados