Prove as seguintes afirmações.
13 \mid 3^{n+2}+4^{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n\in\mathbb{N},
13 \mid 3^{n+2} + 4^{2n+1}.
O conteúdo principal é aritmética modular (divisibilidade por meio de congruências).

Passo 2

Reescrevemos a soma fatorando potências de 3 e de 4:
3^{n+2} + 4^{2n+1} =3^n\cdot3^2 \;+\;4\cdot(4^2)^n =9\cdot3^n \;+\;4\cdot16^n.

Passo 3

Observamos que, no módulo 13,
16 \equiv 3 \pmod{13},
logo, elevando ambos os lados à potência n,
16^n \equiv 3^n \pmod{13}.

Passo 4

Substituindo na expressão do Passo 2, em \bmod 13 temos
3^{n+2} + 4^{2n+1} \equiv 9\cdot3^n + 4\cdot3^n =13\cdot3^n \equiv 0 \pmod{13}.
Isso mostra que 13 divide 3^{n+2}+4^{2n+1}.

Resposta

Portanto, está provado que
13 \mid 3^{n+2} + 4^{2n+1}.

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