Prove as seguintes afirmações.
Se
e
é primo, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é primo e
então
O conteúdo usado será o exponente de um primo em um fatorial, dado pela fórmula de Legendre.
Passo 2
Lembramos que, para um primo
e inteiro
, o expoente de
em
é
Esse valor conta quantas vezes
aparece no produto
.
Passo 3
Como
, temos
. Portanto, para
,
logo
Passo 4
Para
, como
e
, só o termo
da soma de Legendre é não-zero:
Logo
Passo 5
Pela propriedade dos expoentes em quocientes de fatoriais,
Como esse valor é positivo, concluímos que
divide
.
Resposta
Portanto, se
e
é primo, então