Prove as seguintes afirmações.
Se n<p<2 n e p é primo, então p \left\lvert\,\binom{ 2 n}{n}\right..

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p é primo e
n < p < 2n,
então
p \;\bigl\lvert\,\binom{2n}{n}\bigr. .
O conteúdo usado será o exponente de um primo em um fatorial, dado pela fórmula de Legendre.

Passo 2

Lembramos que, para um primo p e inteiro m\ge0, o expoente de p em m! é
v_{p}(m!) \;=\;\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl\lfloor\frac{m}{p^{k}}\Bigr\rfloor.
Esse valor conta quantas vezes p aparece no produto 1\cdot2\cdots m.

Passo 3

Como n<p, temos p^2>p>n. Portanto, para m=n,
\Bigl\lfloor\frac{n}{p}\Bigr\rfloor = 0 \quad\text{e}\quad \Bigl\lfloor\frac{n}{p^k}\Bigr\rfloor=0\quad\text{para todo }k\ge2,
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v_{p}(n!) = 0.

Passo 4

Para m=2n, como p<2n<2p e p^2>2n, só o termo k=1 da soma de Legendre é não-zero:
\Bigl\lfloor\frac{2n}{p}\Bigr\rfloor = 1 \quad\text{e}\quad \Bigl\lfloor\frac{2n}{p^k}\Bigr\rfloor=0\quad\text{para todo }k\ge2.
Logo
v_{p}(2n!) = 1.

Passo 5

Pela propriedade dos expoentes em quocientes de fatoriais,
v_{p}\Bigl(\binom{2n}{n}\Bigr) = v_{p}(2n!) \;-\;2\,v_{p}(n!) = 1 \;-\;2\cdot 0 = 1.
Como esse valor é positivo, concluímos que p divide \binom{2n}{n}.

Resposta

Portanto, se n<p<2n e p é primo, então
p \;\bigl\lvert\,\binom{2n}{n}\bigr. .

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