Prove as seguintes afirmações.
39 \mid 52^{103}+103^{53}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 39\mid 52^{103}+103^{53}. Como 39=3\cdot13, vamos verificar separadamente as divisibilidades por 3 e por 13.

Passo 2

Analisando módulo 3, note que
52 \equiv 1 \pmod{3}, \quad 103 \equiv 1 \pmod{3}.
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52^{103}\equiv 1^{103}=1, \quad 103^{53}\equiv 1^{53}=1 \pmod{3},
e portanto
52^{103}+103^{53}\equiv 1+1=2\pmod{3}.
Como 2\not\equiv0\pmod{3}, o número não é divisível por 3.

Passo 3

Não é necessário verificar módulo 13, pois para que 39 dividisse a soma seria preciso dividir também por 3, o que acabamos de ver que não ocorre.

Resposta

A afirmação é falsa, pois
52^{103}+103^{53}\equiv 2\pmod{3}
e, portanto, não é divisível por 39.

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