Prove as seguintes afirmações.
Não existem inteiros m, n tais que 3 n^{2}-1=m^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diofantina \displaystyle 3n^2 - 1 = m^2
não tem solução em inteiros m,n.
O conteúdo principal é teoria de resíduos quadráticos módulo 3; vamos usar que os quadrados inteiros só podem ser congruentes a 0 ou 1 módulo 3.

Passo 2

Reescrevendo a equação módulo 3, temos
m^2 \equiv 3n^2 - 1 \pmod{3}.
Como 3n^2\equiv 0\pmod{3}, segue
m^2 \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}.

Passo 3

Contudo, os quadrados inteiros módulo 3 só podem ser
0^2 \equiv 0,\quad 1^2 \equiv 1,\quad 2^2\equiv 1\pmod{3}.
Logo não existe inteiro cujo quadrado seja 2 módulo 3.

Resposta

Não existem inteiros m,n satisfazendo 3n^2 - 1 = m^2.

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