Prove as seguintes afirmações.
Se n é impar, então 16 \mid n^{4}+4 n^{2}+11.

Passo 1

Vamos provar que, para todo inteiro ímpar n, vale
16 \mid n^{4} + 4n^{2} + 11.
Como n é ímpar, podemos escrever
n = 2k + 1,
onde k é um inteiro.

Passo 2

Substituímos n=2k+1 no polinômio e expandimos:
n^{4} = (2k+1)^{4} = 16k^{4} + 32k^{3} + 24k^{2} + 8k + 1,
4n^{2} = 4\,(2k+1)^{2} = 4\,(4k^{2} + 4k + 1) = 16k^{2} + 16k + 4.
Somando tudo com 11, obtemos
n^{4} + 4n^{2} + 11 = \bigl(16k^{4} + 32k^{3} + 24k^{2} + 8k + 1\bigr) + \bigl(16k^{2} + 16k + 4\bigr) + 11.

Passo 3

Agrupando termos semelhantes,
n^{4} + 4n^{2} + 11 = 16k^{4} + 32k^{3} + (24k^{2}+16k^{2}) + (8k+16k) + (1+4+11) = 16k^{4} + 32k^{3} + 40k^{2} + 24k + 16.
Fatorando 8, fica
n^{4} + 4n^{2} + 11 = 8\,(2k^{4} + 4k^{3} + 5k^{2} + 3k + 2).

Passo 4

Para concluir que esse valor é múltiplo de 16, basta ver que o cofactor
2k^{4} + 4k^{3} + 5k^{2} + 3k + 2
é par. De fato, olhando esse polinômio módulo 2, temos
2k^{4}\equiv 0,\quad 4k^{3}\equiv 0,\quad 5k^{2}\equiv k^{2},\quad 3k\equiv k,\quad 2\equiv 0\pmod{2},
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2k^{4} + 4k^{3} + 5k^{2} + 3k + 2 \equiv k^{2} + k = k(k+1) \pmod{2},
e k(k+1) é produto de dois consecutivos, um deles é par, então k(k+1)\equiv 0\pmod{2}. Isso mostra que o cofactor é par, digamos 2m. Assim
n^{4} + 4n^{2} + 11 = 8\cdot(2m) = 16m,
provarndo que 16 divide n^{4}+4n^{2}+11.

Resposta

Está provado que, se n é ímpar, então
16 \mid n^{4} + 4n^{2} + 11.

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