Prove as seguintes afirmações.
Se
é impar, então
.
Se
Passo 1
Vamos provar que, para todo inteiro ímpar
, vale
Como
é ímpar, podemos escrever
onde
é um inteiro.
Passo 2
Substituímos
no polinômio e expandimos:
Somando tudo com
, obtemos
Passo 3
Agrupando termos semelhantes,
Fatorando
, fica
Passo 4
Para concluir que esse valor é múltiplo de
, basta ver que o cofactor
é par. De fato, olhando esse polinômio módulo
, temos
logo
e
é produto de dois consecutivos, um deles é par, então
. Isso mostra que o cofactor é par, digamos
. Assim
provarndo que
divide
.
Resposta
Está provado que, se
é ímpar, então