Prove as seguintes afirmações.
Todo divisor primo de n!+1 é maior que n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se p é um divisor primo de
n! + 1
então necessariamente p>n.
O conteúdo é teoria de divisibilidade e fatoriais, e vamos usar a ideia de que, para todo primo p\le n, temos p\mid n!.

Passo 2

Seja p um divisor primo de n! + 1. Então
p \mid (n! + 1).
Suponha, para fins de contradição, que p \le n. Como n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n, segue que
p \mid n!.

Passo 3

Se p\mid n! e p\mid (n! + 1), então p divide a diferença
(n! + 1) - n! = 1,
isto é, p\mid 1. Mas não existe primo que divida 1. Isso é uma contradição com a suposição p\le n.

Resposta

Portanto, toda vez que um primo p divide n! + 1, deve ocorrer p>n.

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