Prove as seguintes afirmações.
\operatorname{mdc}\{2 a+1,9 a+4\}=1 para todo a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro a, os números 2a+1 e 9a+4 são primos entre si, isto é,
\gcd\{2a+1,\,9a+4\}=1.
Para isso vamos usar o Algoritmo de Euclides, que diz que
\gcd(x,y)=\gcd\bigl(x,\,y - kx\bigr)
para qualquer inteiro k.

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides com x=2a+1, y=9a+4 e k=4, obtemos
\gcd\bigl(2a+1,\;9a+4\bigr) = \gcd\!\bigl(2a+1,\;(9a+4)-4\,(2a+1)\bigr).

Passo 3

Calculemos o segundo argumento:
(9a+4)-4(2a+1)=9a+4-8a-4=a.
Logo
\gcd\bigl(2a+1,\,9a+4\bigr) =\gcd\bigl(2a+1,\,a\bigr).

Passo 4

Reaplicando o Algoritmo de Euclides em \gcd(2a+1,a), subtraindo 2 vezes a de 2a+1, temos
\gcd\bigl(2a+1,\,a\bigr) =\gcd\bigl(a,\;(2a+1)-2a\bigr) =\gcd(a,\,1).

Passo 5

Como para todo inteiro a vale
\gcd(a,1)=1,
concluímos que
\gcd\{2a+1,\,9a+4\}=1.

Resposta

\gcd\{2a+1,\,9a+4\}=1 para todo inteiro a.

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