Prove as seguintes afirmações:
se e só
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência: "
é um número puramente imaginário (ou seja, pertence a
) se e só se
para algum
".
Informações dadas/úteis que vamos usar:
Informações dadas/úteis que vamos usar:
-
é um número complexo qualquer; -
é um inteiro; - precisamos mostrar as duas direções da equivalência (“se” e “só se”).
Passo 2
Primeiro escrevemos
na forma padrão separando parte real e imaginária. Seja
com
.
Lembrete (fórmula fundamental que vamos usar): para todo real vale a fórmula de Euler
Lembrete (fórmula fundamental que vamos usar): para todo real
Aqui
é a parte real de
e
é a parte imaginária de
(ou seja
).
Passo 3
Usando a decomposição em parte real e imaginária e a fórmula de Euler, calculamos
:
Portanto a parte real e a parte imaginária de
são, respectivamente,
Passo 4
Agora tratamos a direção “⇒” (se
então
).
Se , então a parte real de
é zero, isto é
. Pela expressão anterior,
Se
Mas
para todo
, logo necessariamente
. As soluções reais de
são
Portanto
, como queríamos.
Passo 5
Agora a direção “⇐” (se
então
).
Suponha . Então
e
(pois
). Substituindo em
obtemos
Suponha
Aqui
é um número real, então
é um número da forma
, isto é
. Isso fecha a outra direção.
Passo 6
Resumo/observação final: a condição
é exatamente a condição necessária e suficiente para que o fator
se anule, o que torna
puramente imaginário. Não há restrição sobre
: o módulo imaginário resultante é
.