Prove as seguintes afirmações:
e^{z} \in i \mathbb{R} se e só \operatorname{Im} z=\left(k+\frac{1}{2}\right) \pi, k \in Z

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência: " e^{z} é um número puramente imaginário (ou seja, pertence a i\mathbb{R}) se e só se \operatorname{Im} z=\left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi para algum k\in\mathbb{Z}".
Informações dadas/úteis que vamos usar:
  • z é um número complexo qualquer;
  • k é um inteiro;
  • precisamos mostrar as duas direções da equivalência (“se” e “só se”).

Passo 2

Primeiro escrevemos z na forma padrão separando parte real e imaginária. Seja \displaystyle z = x + i y com x,y\in\mathbb{R}.
Lembrete (fórmula fundamental que vamos usar): para todo real y vale a fórmula de Euler
e^{i y} = \cos y + i\sin y.
Aqui x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z (ou seja \operatorname{Im} z = y).

Passo 3

Usando a decomposição em parte real e imaginária e a fórmula de Euler, calculamos e^{z}:
e^{z} = e^{x+iy} = e^{x} e^{iy} = e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Portanto a parte real e a parte imaginária de e^{z} são, respectivamente,
\Re(e^{z}) = e^{x}\cos y,\qquad \Im(e^{z}) = e^{x}\sin y.

Passo 4

Agora tratamos a direção “⇒” (se e^{z}\in i\mathbb{R} então \operatorname{Im} z=(k+\tfrac{1}{2})\pi).
Se e^{z}\in i\mathbb{R}, então a parte real de e^{z} é zero, isto é \Re(e^{z})=0. Pela expressão anterior,
e^{x}\cos y = 0.
Mas e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo necessariamente \cos y = 0. As soluções reais de \cos y = 0 são
y = \frac{\pi}{2} + k\pi = \left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto \operatorname{Im} z = y = \left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi, como queríamos.

Passo 5

Agora a direção “⇐” (se \operatorname{Im} z=(k+\tfrac{1}{2})\pi então e^{z}\in i\mathbb{R}).
Suponha y=\left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi. Então \cos y=0 e \sin y = (-1)^{k} (pois \sin\big(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\big)=(-1)^k). Substituindo em e^{z}=e^{x}(\cos y + i\sin y) obtemos
e^{z} = e^{x}\big(0 + i(-1)^{k}\big) = i\big((-1)^{k} e^{x}\big).
Aqui (-1)^{k} e^{x} é um número real, então e^{z} é um número da forma i\cdot(\text{real}), isto é e^{z}\in i\mathbb{R}. Isso fecha a outra direção.

Passo 6

Resumo/observação final: a condição \operatorname{Im} z = \left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi é exatamente a condição necessária e suficiente para que o fator \cos y se anule, o que torna e^{z} puramente imaginário. Não há restrição sobre x: o módulo imaginário resultante é |\Im(e^{z})|=e^{x}.

Resposta

e^{z}\in i\mathbb{R} se e só se \operatorname{Im} z=\left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

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