Prove as seguintes afirmações:
se e só se
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a equivalência
Informações dadas (implícitas):
é um número complexo qualquer. Não há mais dados numéricos.
Passo 2
Escrever
em partes real e imaginária. Seja
com
e
. Esta é a decomposição padrão de um número complexo em sua parte real e imaginária.
Passo 3
Relembrar a definição/propriedade do exponencial complexo (fórmula de Euler). Para
vale a fatoração
Pela fórmula de Euler,
Portanto
Passo 4
Separar as partes real e imaginária de
. A partir da expressão anterior obtemos
Note que, para todo
,
. Isto será usado para eliminar fatores não nulos.
Passo 5
Provar a implicação “
”: se
então
.
Se então a parte imaginária de
é zero, isto é
Se
Como
, segue que
. As soluções reais de
são exatamente
Portanto
com
.
Passo 6
Provar a implicação “
”: se
então
.
Suponha . Então
e
. Usando a expressão do Passo 3,
Suponha
Como
é um número real, conclui-se que
.
Passo 7
Conclusão final da prova: juntando as duas implicações, obtemos a equivalência desejada:
Observação útil: quando
tem-se
, que é um real não nulo (pois
).