Prove as seguintes afirmações:
e^{z} \in \mathbb{R} se e só se \operatorname{Im} z=k \pi, k \in Z

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a equivalência
e^{z}\in\mathbb{R}\quad\text{se e só se}\quad \operatorname{Im}z = k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.ó
Informações dadas (implícitas): z é um número complexo qualquer. Não há mais dados numéricos.

Passo 2

Escrever z em partes real e imaginária. Seja z=x+iy com x=\operatorname{Re}z\in\mathbb{R} e y=\operatorname{Im}z\in\mathbb{R}. Esta é a decomposição padrão de um número complexo em sua parte real e imaginária.

Passo 3

Relembrar a definição/propriedade do exponencial complexo (fórmula de Euler). Para z=x+iy vale a fatoração
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}.
Pela fórmula de Euler,
e^{iy}=\cos y + i\sin y.
Portanto
e^{z}=e^{x}(\cos y + i\sin y).

Passo 4

Separar as partes real e imaginária de e^{z}. A partir da expressão anterior obtemos
\operatorname{Re}(e^{z})=e^{x}\cos y,\qquad \operatorname{Im}(e^{z})=e^{x}\sin y.
Note que, para todo x\in\mathbb{R}, e^{x}>0. Isto será usado para eliminar fatores não nulos.

Passo 5

Provar a implicação “ \Rightarrow”: se e^{z}\in\mathbb{R} então \operatorname{Im}z=k\pi.
Se e^{z}\in\mathbb{R} então a parte imaginária de e^{z} é zero, isto é
\operatorname{Im}(e^{z})=e^{x}\sin y = 0.
Como e^{x}>0, segue que \sin y=0. As soluções reais de \sin y=0 são exatamente
y = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto \operatorname{Im}z=y=k\pi com k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Provar a implicação “ \Leftarrow”: se \operatorname{Im}z=k\pi então e^{z}\in\mathbb{R}.
Suponha y=k\pi. Então \sin y=\sin(k\pi)=0 e \cos y=\cos(k\pi)=(-1)^{k}. Usando a expressão do Passo 3,
e^{z}=e^{x}(\cos y + i\sin y)=e^{x}((-1)^{k}+i\cdot 0)=e^{x}(-1)^{k}.
Como e^{x}(-1)^{k} é um número real, conclui-se que e^{z}\in\mathbb{R}.

Passo 7

Conclusão final da prova: juntando as duas implicações, obtemos a equivalência desejada:
e^{z}\in\mathbb{R}\iff \operatorname{Im}z = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Observação útil: quando \operatorname{Im}z=k\pi tem-se e^{z}=e^{x}(-1)^{k}, que é um real não nulo (pois e^{x}>0).

Resposta

e^{z}\in\mathbb{R}\iff \operatorname{Im}z = k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados