Prove as seguintes identidades trigonométricas:
\cos \theta \cos \varphi=\frac{\cos (\theta-\varphi)+\cos (\theta+\varphi)}{2}

Passo 1

O objetivo é provar a identidade trigonométrica
\cos\theta\;\cos\varphi \;=\;\frac{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)}{2}.
O conteúdo que vamos usar são as fórmulas da soma e da diferença de ângulos para o cosseno.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas conhecidas de cosseno da soma e da diferença de ângulos:
\cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\,\cos\varphi \;-\;\sin\theta\,\sin\varphi
\cos(\theta-\varphi)=\cos\theta\,\cos\varphi \;+\;\sin\theta\,\sin\varphi

Passo 3

Somamos as duas expressões acima:
\cos(\theta+\varphi)+\cos(\theta-\varphi) =\bigl(\cos\theta\,\cos\varphi-\sin\theta\,\sin\varphi\bigr) +\bigl(\cos\theta\,\cos\varphi+\sin\theta\,\sin\varphi\bigr) =2\,\cos\theta\,\cos\varphi.

Passo 4

Bastou então dividir ambos os lados por 2 para isolar o produto \cos\theta\,\cos\varphi:
\cos\theta\,\cos\varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)}{2}.

Resposta

A identidade está comprovada.

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