Prove as seguintes identidades trigonométricas:
\sin \theta \sin \varphi=\frac{\cos (\theta-\varphi)-\cos (\theta+\varphi)}{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de produto-para-soma
\sin\theta\,\sin\varphi \;=\;\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{2}.
Para isso, vamos usar as fórmulas de soma e diferença para o cosseno:
\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.

Passo 2

Aplicando a fórmula de diferença ao termo \cos(\theta-\varphi), obtemos
\cos(\theta-\varphi)=\cos\theta\cos\varphi+\sin\theta\sin\varphi.

Passo 3

Aplicando a fórmula de soma ao termo \cos(\theta+\varphi), obtemos
\cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi.

Passo 4

Subtraindo \cos(\theta+\varphi) de \cos(\theta-\varphi) resulta
\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi) =(\cos\theta\cos\varphi+\sin\theta\sin\varphi) -(\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi) =2\,\sin\theta\sin\varphi.

Passo 5

Dividindo ambos os lados de
\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)=2\,\sin\theta\sin\varphi
por 2, concluímos a identidade desejada:
\sin\theta\,\sin\varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{2}.

Resposta

\sin\theta\,\sin\varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{2}.

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