Prove as seguintes identidades trigonométricas:
\sin \left(\varphi-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos \varphi

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\sin\Bigl(\varphi - \frac{\pi}{2}\Bigr) = -\cos\varphi.
O conteúdo principal é a fórmula de seno da diferença de dois ângulos.

Passo 2

Aplicamos a identidade trigonométrica
\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\,\cos\beta \;-\;\cos\alpha\,\sin\beta,
tomando \alpha = \varphi e \beta = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Sabemos que \cos\frac{\pi}{2} = 0 e \sin\frac{\pi}{2} = 1.
Substituindo na fórmula,
\sin\Bigl(\varphi - \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \sin\varphi \cdot 0 \;-\; \cos\varphi \cdot 1 = -\cos\varphi.

Passo 4

Logo, chegamos exatamente à identidade que queríamos demonstrar.

Resposta

\sin\bigl(\varphi - \tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\cos\varphi

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