Resolva:
\left\{ \begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=0, \\\ y(0)=0, \\\ y^{\prime}(0)=1 . \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 4y = 0
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos resolver encontrando a equação característica, escrevendo a solução geral e, por fim, ajustando os parâmetros pelas condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a y'' + 4y=0:
r^2 + 4 = 0.
Resolvendo, obtemos as raízes complexas
r = \pm 2i.

Passo 3

Como as raízes são r=\pm2i, a solução geral é
y(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y(0) e y'(0):
y(0) = A\cos0 + B\sin0 = A \quad\Longrightarrow\quad A=0,
y'(x) = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x) \;\Longrightarrow\; y'(0) = 2B\cos0 = 2B = 1 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac12.
Substituindo A=0 e B=\tfrac12 na solução geral, obtemos a solução particular.

Resposta

y(x) = \tfrac12\,\sin(2x).

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