(a) Prove as seguintes relaçōes, usando apenas definiçōes e princípios termodinâmicos:
b. (partial Upartial p)V=CV(partial Tpartial p)V

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que (partial Upartial p)V = CV (partial Tpartial p)V. Isso está dentro da termodinâmica, mais especificamente envolvendo a energia interna U, a capacidade calorífica a volume constante CV, e derivadas parciais de U e T em relação à pressão p mantendo o volume V constante. Vamos usar definições básicas e princípios termodinâmicos para chegar nessa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacidade calorífica a volume constante CV é definida como:
CV = (partial Upartial T)V
Isso significa que CV é a derivada da energia interna U em relação à temperatura T, mantendo o volume V constante.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar (partial Upartial p)V. Podemos usar a regra da cadeia para expressar essa derivada em termos de T:
(partial Upartial p)V = (partial Upartial T)V cdot (partial Tpartial p)V
Aqui, estamos decompondo a derivada de U em relação a p mantendo V constante, em duas partes: a derivada de U em relação a T e a derivada de T em relação a p.

Passo 4

Agora, substituímos (partial Upartial T)V pela definição de CV:
(partial Upartial p)V = CV cdot (partial Tpartial p)V
Prontinho! Isso mostra exatamente a relação que queríamos provar.

Resposta

Portanto, provamos que (partial Upartial p)V = CV (partial Tpartial p)V.

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