(b) Use as relações acima e calcule
e
para o caso especial para 1 mol de um gás ideal, para o qual
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de termodinâmica! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da energia interna molar $ U_m $ em relação ao volume molar $ V_m $ a pressão constante e em relação à pressão $ p $ a volume constante, considerando 1 mol de um gás ideal, onde $ pV_m = RT $. Para isso, vamos precisar entender como a energia interna depende das variáveis envolvidas e aplicar as relações do gás ideal.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que, para um gás ideal, a energia interna molar $ U_m $ depende apenas da temperatura $ T $ e não do volume $ V_m $ ou da pressão $ p $. Isso ocorre porque, em um gás ideal, as moléculas não interagem entre si e a energia interna está relacionada apenas ao movimento térmico das moléculas.
Matematicamente, podemos expressar isso como:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação do gás ideal dada no enunciado:
Onde:
- $ p $ é a pressão
- $ V_m $ é o volume molar
- $ R $ é a constante dos gases
- $ T $ é a temperatura
Podemos rearranjar essa equação para expressar a temperatura em termos de $ p $ e $ V_m $:
Passo 4
Como $ U_m $ depende apenas de $ T $, podemos substituir $ T $ na expressão de $ U_m $:
Mas, na verdade, como $ U_m $ depende apenas de $ T $, quando fazemos derivadas parciais em relação a $ V_m $ ou $ p $, precisamos considerar essa dependência.
Passo 5
Vamos calcular a derivada parcial de $ U_m $ em relação a $ V_m $ mantendo $ p $ constante:
Como $ U_m $ depende apenas de $ T $, e $ T = \frac{pV_m}{R} $, a derivada de $ U_m $ em relação a $ V_m $ a pressão constante implica derivar $ U_m $ em relação a $ T $ e depois multiplicar pela derivada de $ T $ em relação a $ V_m $:
Calculando $ \frac{\partial T}{\partial V_m} $ a $ p $ constante:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ U_m $ em relação a $ p $ mantendo $ V_m $ constante:
Novamente, como $ U_m $ depende apenas de $ T $, e $ T = \frac{pV_m}{R} $, a derivada de $ U_m $ em relação a $ p $ a volume constante implica derivar $ U_m $ em relação a $ T $ e depois multiplicar pela derivada de $ T $ em relação a $ p $:
Calculando $ \frac{\partial T}{\partial p} $ a $ V_m $ constante:
Então:
Resposta
As derivadas solicitadas são: