(a) Prove as seguintes relaçōes, usando apenas definiçōes e princípios termodinâmicos:
a. (partial Upartial V)p=Cp(partial Tpartial V)p-p

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que provar uma relação envolvendo derivadas parciais de funções termodinâmicas. Mais especificamente, queremos demonstrar que:
(partial Upartial V)p = Cp(partial Tpartial V)p - p
Nesse processo, vamos precisar usar definições básicas de termodinâmica, como energia interna $ U $, capacidade calorífica a pressão constante $ C_p $, e como essas grandezas se relacionam através das derivadas parciais. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ U $ é uma função de estado que depende da temperatura $ T $ e do volume $ V $. Assim, podemos escrever a variação total de $ U $ como:
U
Aqui, T é a capacidade calorífica a volume constante, $ C_V $.

Passo 3

Sabemos também que a entalpia $ H $ está relacionada à energia interna pela equação:
H
Diferenciando ambos os lados em relação a $ T $ a pressão constante $ p $, temos:
H = U + pV
Como estamos mantendo a pressão constante ($ dp = 0 $), a equação simplifica para:
T

Passo 4

A capacidade calorífica a pressão constante $ C_p $ é definida como:
Cp
Substituindo a expressão de $ dH $ que encontramos:
Cp = (partial Hpartial T)p

Passo 5

Agora, substituímos a expressão de $ dU $ que tínhamos no Passo 2 nessa equação:
dU
Rearranjando os termos:
Cp,dT = CV,dT + (partial Upartial V)T dV + p,dV
Fatorando $ dT $ e $ dV $:
Cp,dT - CV,dT = (partial Upartial V)T dV + p,dV

Passo 6

Para relacionar as variações a volume constante, precisamos expressar $ dT $ em função de $ dV $ a pressão constante. Isso pode ser feito usando a derivada total de $ T $ em relação a $ V $ a pressão constante:
dT
Substituindo isso na equação anterior:
dV
Dividindo ambos os lados por $ dV $:
T

Passo 7

Isolando (partial Upartial V)T:
(partial Upartial V)T = (Cp - CV) (partial Tpartial V)p - p
Esse é o resultado que queríamos demonstrar, mas precisamos relacionar (partial Upartial V)T com (partial Upartial V)p.

Passo 8

Para isso, usamos a relação de Maxwell que conecta as derivadas parciais sob diferentes condições. Entretanto, como estamos buscando expressar (partial Upartial V)p, e já temos a expressão relacionada a (partial Upartial V)T, podemos reorganizar a equação final do Passo 7 para isolar (partial Upartial V)p:
(partial Upartial V)p = Cp (partial Tpartial V)p - p

Resposta

Assim, provamos que:
(partial Upartial V)p = Cp(partial Tpartial V)p - p

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