(a) Prove as seguintes relaçōes, usando apenas definiçōes e princípios termodinâmicos:
a.
a.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que provar uma relação envolvendo derivadas parciais de funções termodinâmicas. Mais especificamente, queremos demonstrar que:
Nesse processo, vamos precisar usar definições básicas de termodinâmica, como energia interna $ U $, capacidade calorífica a pressão constante $ C_p $, e como essas grandezas se relacionam através das derivadas parciais. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ U $ é uma função de estado que depende da temperatura $ T $ e do volume $ V $. Assim, podemos escrever a variação total de $ U $ como:
Aqui,
é a capacidade calorífica a volume constante, $ C_V $.
Passo 3
Sabemos também que a entalpia $ H $ está relacionada à energia interna pela equação:
Diferenciando ambos os lados em relação a $ T $ a pressão constante $ p $, temos:
Como estamos mantendo a pressão constante ($ dp = 0 $), a equação simplifica para:
Passo 4
A capacidade calorífica a pressão constante $ C_p $ é definida como:
Substituindo a expressão de $ dH $ que encontramos:
Passo 5
Agora, substituímos a expressão de $ dU $ que tínhamos no Passo 2 nessa equação:
Rearranjando os termos:
Fatorando $ dT $ e $ dV $:
Passo 6
Para relacionar as variações a volume constante, precisamos expressar $ dT $ em função de $ dV $ a pressão constante. Isso pode ser feito usando a derivada total de $ T $ em relação a $ V $ a pressão constante:
Substituindo isso na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por $ dV $:
Passo 7
Isolando
:
Esse é o resultado que queríamos demonstrar, mas precisamos relacionar
com
.
Passo 8
Para isso, usamos a relação de Maxwell que conecta as derivadas parciais sob diferentes condições. Entretanto, como estamos buscando expressar
, e já temos a expressão relacionada a
, podemos reorganizar a equação final do Passo 7 para isolar
:
Resposta
Assim, provamos que: