Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra “único” é redundante (admitindo-se, naturalmente, os demais axiomas).
Passo 1
Este exercício pede para mostrar que, no enunciado “para todo natural x existe um único sucessor de x”, a palavra “único” não precisa ser incluída como axioma, pois vem de graça dos demais axiomas (especialmente das propriedades de igualdade e do fato de S ser um símbolo de função).
Lembrando que, em lógica de primeira ordem, quando introduzimos um símbolo S como símbolo de função de uma variável, cada termo S(x) tem significado único. Além disso, a igualdade satisfaz as propriedades de simetria e transitividade. Vamos usar isso para derivar a unicidade do sucessor.
Lembrando que, em lógica de primeira ordem, quando introduzimos um símbolo S como símbolo de função de uma variável, cada termo S(x) tem significado único. Além disso, a igualdade satisfaz as propriedades de simetria e transitividade. Vamos usar isso para derivar a unicidade do sucessor.
Passo 2
Começamos assumindo apenas a parte de existência do sucessor, ou seja, o axioma “para todo x existe y tal que S(x)=y”, sem falar em unicidade.
Passo 3
Agora provamos a unicidade como teorema: suponha que para um mesmo x tenhamos S(x)=y e também S(x)=z. Então, por simetria da igualdade, de S(x)=y segue y=S(x).
Aplicando transitividade de igualdade entre y=S(x) e S(x)=z, concluímos y=z. Isso mostra que não podem existir dois sucessores distintos de x.
Aplicando transitividade de igualdade entre y=S(x) e S(x)=z, concluímos y=z. Isso mostra que não podem existir dois sucessores distintos de x.
Passo 4
Portanto, a cláusula “único” é consequência lógica dos demais axiomas (símbolo de função + propriedades de igualdade) e torna-se redundante no enunciado original.
Resposta
A unicidade do sucessor se obtém diretamente da simetria e transitividade da igualdade, mais o fato de S ser símbolo de função. Logo, não é preciso incluir “único” como axioma.