Seja
um subconjunto não-vazio tal que
,
. Prove que existe
tal que
é o conjunto dos múltiplos de
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem um subconjunto não vazio
que satisfaz a condição
O objetivo é mostrar que existe um tal que
.
Vamos usar o bom ordenamento de e o algoritmo da divisão.
O objetivo é mostrar que existe um
Vamos usar o bom ordenamento de
Passo 2
Como
é não vazio, pelo princípio do bom ordenamento existe um menor elemento. Definimos
Esse
será o índice que gera todos os elementos de
.
Passo 3
Mostramos agora que todo múltiplo de
está em
. De fato,
e, usando a propriedade de fechamento pela soma, se
então
Por indução em , todos os múltiplos
,
, pertencem a
.
Por indução em
Passo 4
Para a inclusão inversa, seja
. Aplicamos o algoritmo da divisão para escrever
com
. Como
e
(já mostramos), pela parte inversa da condição temos
Mas e
é o mínimo em
, logo só pode ocorrer
. Assim
.
Mas
Resposta
X é exatamente o conjunto
de múltiplos de
.