Seja X subset N um subconjunto não-vazio tal que m, n in X Leftrightarrow m, m+n in X. Prove que existe k in N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem um subconjunto não vazio XsubsetN que satisfaz a condição
kinN
O objetivo é mostrar que existe um X=ninN:kmid n tal que
N.
Vamos usar o bom ordenamento de e o algoritmo da divisão.

Passo 2

Como X é não vazio, pelo princípio do bom ordenamento existe um menor elemento. Definimos
k=min X
Esse k será o índice que gera todos os elementos de X.

Passo 3

Mostramos agora que todo múltiplo de k está em X. De fato, kin X e, usando a propriedade de fechamento pela soma, se qkin X então
q
Por indução em qk, todos os múltiplos qinN, X, pertencem a .

Passo 4

Para a inclusão inversa, seja nin X. Aplicamos o algoritmo da divisão para escrever
n=qk+r,
com 0<= r. Como kin X e qkin X (já mostramos), pela parte inversa da condição temos
r
Mas k e X é o mínimo em r=0, logo só pode ocorrer kmid n. Assim .

Resposta

X é exatamente o conjunto ninN:kmid n de múltiplos de k.

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