converge para \cos x em todo x\in\mathbb{R}. Para isso vamos usar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange e mostrar que o resto tende a zero quando n\to\infty.
Passo 2
Observamos que as derivadas de \cos x são periódicas de período 4, valendo
Mas a sequência \displaystyle\frac{\bigl|x-x_{0}\bigr|^{\,n+1}}{(n+1)!} tende a zero quando n\to\infty, pois o crescimento de (n+1)! domina qualquer potência fixa.
Passo 5
Portanto \lim_{n\to\infty}R_{n}(x)=0 e a série de Taylor converge exatamente para \cos x.
Resposta
A série de Taylor de \cos x em torno de qualquer ponto x_{0} converge para \cos x em todo x.