Prove: A série de Taylor de \cos x em torno de qualquer ponto x=x_{0} converge para \cos x em cada x.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para a função f(x)=\cos x, a sua série de Taylor em torno de um ponto x_{0},
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k},
converge para \cos x em todo x\in\mathbb{R}. Para isso vamos usar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange e mostrar que o resto tende a zero quando n\to\infty.

Passo 2

Observamos que as derivadas de \cos x são periódicas de período 4, valendo
f(x)=\cos x,\quad f'(x)=-\sin x,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f'''(x)=\sin x,\quad f^{(4)}(x)=\cos x,
e assim por diante. Em particular, para todo k e todo ponto x,
\bigl|f^{(k)}(x)\bigr|\le1.
Logo a série de Taylor centrada em x_{0} fica
\cos x =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}.

Passo 3

Pelo Teorema de Taylor com resto de Lagrange, para cada n existe \xi entre x_{0} e x tal que
\cos x =\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k} +R_{n}(x),
R_{n}(x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}.

Passo 4

Como \bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr|\le1, segue a estimativa
\bigl|R_{n}(x)\bigr| \le\frac{\bigl|x-x_{0}\bigr|^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Mas a sequência \displaystyle\frac{\bigl|x-x_{0}\bigr|^{\,n+1}}{(n+1)!} tende a zero quando n\to\infty, pois o crescimento de (n+1)! domina qualquer potência fixa.

Passo 5

Portanto \lim_{n\to\infty}R_{n}(x)=0 e a série de Taylor converge exatamente para \cos x.

Resposta

A série de Taylor de \cos x em torno de qualquer ponto x_{0} converge para \cos x em todo x.

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