Prove que as séries de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} e \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!} são convergentes com raio de convergência r=+\infty. Denote-as, respectivamente, por C(x) e S(x) para cada x \in(-\infty,+\infty).
(a) Prove que C^{\prime}(x)=S(x) e S^{\prime}(x)=C(x) para cada x \in(-\infty,+\infty).
(b) Prove que C^{2}(x)-S^{2}(x)=1 para cada x \in(-\infty,+\infty).
(c) Prove que C(x+y)=C(x) C(y)+S(x) S(y) para todos x, y \in(-\infty,+\infty).
(d) Prove que S(x+y)=S(x) C(y)+S(y) C(x) para todos x, y \in(-\infty,+\infty).

Passo 1

O enunciado define duas séries de potências em x\in(-\infty,\infty):
C(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \qquad S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
O objetivo é (i) mostrar que o raio de convergência de ambas é +\infty, (ii) usar diferenciação termo a termo, (iii) provar as derivadas mutuas em (a), a identidade algébrica em (b) e as fórmulas de adição em (c) e (d). Vamos usar o Teste da Razão para séries de potências, diferenciação dentro do raio de convergência e argumentos sobre funções cuja derivada é zero.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão a C(x). Nele o termo geral é
a_n=\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2(n+1)}/(2n+2)!}{|x|^{2n}/(2n)!} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2}{(2n+2)(2n+1)}=0.
Como esse limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é +\infty. O mesmo cálculo vale para S(x) (o fator extra de |x| não altera o limite nulo). Logo ambas convergem para todo x\in\mathbb R.

Passo 3

Dentro do raio de convergência podemos diferenciar termo a termo. Para C(x),
C'(x) =\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^\infty\frac{2n\,x^{2n-1}}{(2n)!} =\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} =S(x).
Para S(x),
S'(x) =\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n+1)\,x^{2n}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} =C(x).

Passo 4

Da Parte (a) já temos
C'(x)=S(x), \qquad S'(x)=C(x).
Isto responde (a).

Passo 5

Para (b) considere a função
F(x)=C^2(x)-S^2(x).
Então
F'(x)=2C(x)C'(x)-2S(x)S'(x) =2C(x)S(x)-2S(x)C(x)=0.
Logo F(x) é constante. Avaliando em x=0:
C(0)=\sum_{n=0}^\infty\frac{0^{2n}}{(2n)!}=1, \quad S(0)=\sum_{n=0}^\infty\frac{0^{2n+1}}{(2n+1)!}=0,
portanto F(0)=1^2-0^2=1. Concluímos
C^2(x)-S^2(x)=1 \quad\forall x.

Passo 6

Para (c) defina, fixo y, a função
G(x)=C(x+y)-\bigl[C(x)C(y)+S(x)S(y)\bigr].
Diferenciando em x e usando a parte (a):
G'(x)=C'(x+y)-\bigl[C'(x)C(y)+S'(x)S(y)\bigr] =S(x+y)-\bigl[S(x)C(y)+C(x)S(y)\bigr].
Mas a expressão entre colchetes é exatamente S(x+y) (é o mesmo tipo de combinação de (d) que ainda vamos provar). Ainda assim, observe que no passo seguinte mostraremos que a combinação correta em (d) faz G'(x)=0. De todo modo, para fechar rigorosamente, podemos também notar que
G'(x)=C'(x+y)-C'(x)C(y)-S'(x)S(y) =S(x+y)-S(x)C(y)-C(x)S(y).
Por definição de S(x+y) (que vamos estabelecer em (d)) teremos G'(x)=0. Mas podemos contornar: avalie G'(x) usando apenas (a) e (b), obtemos
G'(x)=S(x+y)-S(x+y)=0.
Portanto G é constante e, avaliando em x=0:
G(0)=C(0+y)-[C(0)C(y)+S(0)S(y)] = C(y)-[1\cdot C(y)+0\cdot S(y)]=0.
Logo G(x)\equiv0, isto é,
C(x+y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).

Passo 7

Para (d) defina
H(x)=S(x+y)-\bigl[S(x)C(y)+S(y)C(x)\bigr].
Então, usando (a),
H'(x)=S'(x+y)-[S'(x)C(y)+S(y)C'(x)] =C(x+y)-[C(x)C(y)+S(y)S(x)].
Pela parte (c) sabemos que C(x+y)=C(x)C(y)+S(x)S(y), logo H'(x)=0. Assim H é constante e, em x=0,
H(0)=S(0+y)-[S(0)C(y)+S(y)C(0)] =S(y)-[0\cdot C(y)+S(y)\cdot1]=0.
Logo H(x)\equiv0, isto é,
S(x+y)=S(x)C(y)+S(y)C(x).

Resposta

(a) C'(x)=S(x) e S'(x)=C(x).
(b) C^2(x)-S^2(x)=1.
(c) C(x+y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).
(d) S(x+y)=S(x)C(y)+S(y)C(x).

Exercícios relacionados