Prove que as séries de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} e \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!} são convergentes com raio de convergência r=+\infty. Denote-as, respectivamente, por C(x) e S(x) para cada x \in(-\infty,+\infty).
(a) Prove que C^{\prime}(x)=S(x) e S^{\prime}(x)=C(x) para cada x \in(-\infty,+\infty).
(b) Prove que C^{2}(x)-S^{2}(x)=1 para cada x \in(-\infty,+\infty).
(c) Prove que C(x+y)=C(x) C(y)+S(x) S(y) para todos x, y \in(-\infty,+\infty).
(d) Prove que S(x+y)=S(x) C(y)+S(y) C(x) para todos x, y \in(-\infty,+\infty).
Passo 1
O enunciado define duas séries de potências em x\in(-\infty,\infty):
O objetivo é (i) mostrar que o raio de convergência de ambas é +\infty, (ii) usar diferenciação termo a termo, (iii) provar as derivadas mutuas em (a), a identidade algébrica em (b) e as fórmulas de adição em (c) e (d). Vamos usar o Teste da Razão para séries de potências, diferenciação dentro do raio de convergência e argumentos sobre funções cuja derivada é zero.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão a C(x). Nele o termo geral é
Como esse limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é +\infty. O mesmo cálculo vale para S(x) (o fator extra de |x| não altera o limite nulo). Logo ambas convergem para todo x\in\mathbb R.
Passo 3
Dentro do raio de convergência podemos diferenciar termo a termo. Para C(x),
Mas a expressão entre colchetes é exatamente S(x+y) (é o mesmo tipo de combinação de (d) que ainda vamos provar). Ainda assim, observe que no passo seguinte mostraremos que a combinação correta em (d) faz G'(x)=0. De todo modo, para fechar rigorosamente, podemos também notar que