Mostre que \log (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ldots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+r_{n}(x), onde r_{n}(x)=(-1)^{n} \int_{0}^{x} g(t) f(t) d t\operatorname{com} g(t)=\frac{1}{1+t} ; f(t)=t^{n} e 0 \leq t \leq 1. Em particular \left|r_{n}(1)\right| \leq \max _{g} \int_{0}^{1} f(t) d t=\frac{1}{n+1}. Deduza que \log 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\ldots
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, para 0\le x\le1,
Em seguida devemos provar que \bigl|r_n(1)\bigr|\le\frac1{n+1} e concluir \displaystyle\log2=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac1k.
O conteúdo é a expansão em série de Taylor de \log(1+x) em torno de 0, obtida por método de recorrência via integração.
Passo 2
Começamos escrevendo
\log(1+x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t}\,.
Isso segue da derivada \frac{d}{dt}\log(1+t)=1/(1+t) e do teorema fundamental do cálculo.
Passo 3
Para gerar os termos da série, usamos a identidade de recorrência
Usando a fórmula do passo anterior para \int_0^x t^{n-1}/(1+t)\,dt gera o termo (-1)^{n-1}x^n/n e empurra \int_0^x t^n/(1+t)\,dt com fator (-1)^n. Assim chega-se a