Prove que as séries de potências \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} e \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!} são convergentes com raio de convergência r=+\infty. Denote-as, respectivamente, por c(x) e s(x) para cada x \in (-\infty,+\infty).
(a) Prove que c^{\prime}(x)=-s(x) e s^{\prime}(x)=c(x) para cada x \in(-\infty,+\infty).
(b) Prove que c^{2}(x)+s^{2}(x)=1 para cada x \in(-\infty,+\infty).
(c) Prove que c(x+y)=c(x) c(y)-s(x) s(y) para todos x, y \in(-\infty,+\infty).
(d) Prove que s(x+y)=s(x) c(y)+s(y) c(x) para todos x, y \in(-\infty,+\infty).
(e) Prove que existe p \in(0,+\infty) tal que c(p)=0.

Passo 1

O problema define duas funções por séries de potências em toda reta real:
c(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad s(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Usaremos o teste da razão para ver que o raio de convergência é infinito, depois faremos diferenciação termo a termo, usaremos produtos de Cauchy de séries, e argumentos de continuidade para chegar aos resultados (a)–(e).

Passo 2

Aplicando o teste da razão a c(x):
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2(n+1)}/(2(n+1))!}{(-1)^n\,x^{2n}/(2n)!}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)}=0<1,
logo converge para todo x. Mesmo raciocínio vale para s(x). Portanto o raio de convergência de ambas é r=+\infty.

Passo 3

Como cada série converge uniformemente em intervalos compactos, podemos diferenciar termo a termo:
c'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n\,x^{2n-1}}{(2n)!} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Reindexando com m=n-1
c'(x) =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} =-\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} =-\,s(x).
Analogamente,
s'(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n+1)\,x^{2n}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} =\,c(x).

Passo 4

Considere u(x)=c^2(x)+s^2(x). Então
u'(x)=2c(x)c'(x)+2s(x)s'(x) =2c(x)(-s(x))+2s(x)c(x)=0.
Logo u(x) é constante. Como c(0)=1 e s(0)=0, segue
c^2(x)+s^2(x)=u(0)=1.

Passo 5

Para a fórmula de adição de c, escrevemos
c(x+y) =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x+y)^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{(2n)!} \sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^k y^{2n-k}.
Separe somas em k par, k=2j, e k ímpar, k=2j+1. Para k=2j cada termo é
(-1)^n\frac{x^{2j}y^{2(n-j)}}{(2j)!\,(2(n-j))!},
e esses somatórios reproduzem exatamente o produto de Cauchy de c(x) por c(y). Para k=2j+1 surgem termos
(-1)^n\frac{x^{2j+1}y^{2(n-j)-1}}{(2j+1)!\,(2(n-j)-1)!},
que correspondem ao produto de Cauchy de s(x) por s(y). Como o sinal total para esses termos é negativo (vem do binomial aplicado à potência par), obtemos
c(x+y)=c(x)\,c(y)-s(x)\,s(y).

Passo 6

Idêntico para s(x+y):
s(x+y) =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x+y)^{2n+1}}{(2n+1)!},
fazendo binomial e separando potências pares e ímpares em x, obtemos exatamente
s(x+y)=s(x)\,c(y)+c(x)\,s(y).

Passo 7

Suponha, por contradição, que c(x)>0 para todo x>0. Então por s'(x)=c(x) teríamos s'(x)\ge m>0 em algum trecho [0,\delta], o que implica s(x)\to+\infty conforme x\to\infty. Mas por c^2+s^2=1 temos |s(x)|\le1 em toda reta, contradição. Logo deve existir p>0 tal que c(p)=0.

Resposta

As séries têm raio de convergência +\infty e definem funções que satisfazem
(a) c'(x)=-s(x), s'(x)=c(x).
(b) c^2(x)+s^2(x)=1.
(c) c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y).
(d) s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y).
(e) Existe p>0 tal que c(p)=0.

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