Prove que as séries de potências \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} e \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!} são convergentes com raio de convergência r=+\infty. Denote-as, respectivamente, por c(x) e s(x) para cada x \in(-\infty,+\infty).
(a) Prove que c^{\prime}(x)=-s(x) e s^{\prime}(x)=c(x) para cada x \in(-\infty,+\infty).
(b) Prove que c^{2}(x)+s^{2}(x)=1 para cada x \in(-\infty,+\infty).
(c) Prove que c(x+y)=c(x) c(y)-s(x) s(y) para todos x, y \in(-\infty,+\infty).
(d) Prove que s(x+y)=s(x) c(y)+s(y) c(x) para todos x, y \in(-\infty,+\infty).
(e) Prove que existe p \in(0,+\infty) tal que c(p)=0.
Passo 1
O problema define duas funções por séries de potências em toda reta real:
Usaremos o teste da razão para ver que o raio de convergência é infinito, depois faremos diferenciação termo a termo, usaremos produtos de Cauchy de séries, e argumentos de continuidade para chegar aos resultados (a)–(e).
que correspondem ao produto de Cauchy de s(x) por s(y). Como o sinal total para esses termos é negativo (vem do binomial aplicado à potência par), obtemos
fazendo binomial e separando potências pares e ímpares em x, obtemos exatamente
s(x+y)=s(x)\,c(y)+c(x)\,s(y).
Passo 7
Suponha, por contradição, que c(x)>0 para todo x>0. Então por s'(x)=c(x) teríamos s'(x)\ge m>0 em algum trecho [0,\delta], o que implica s(x)\to+\infty conforme x\to\infty. Mas por c^2+s^2=1 temos |s(x)|\le1 em toda reta, contradição. Logo deve existir p>0 tal que c(p)=0.
Resposta
As séries têm raio de convergência +\infty e definem funções que satisfazem
(a) c'(x)=-s(x), s'(x)=c(x).
(b) c^2(x)+s^2(x)=1.
(c) c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y).
(d) s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y).
(e) Existe p>0 tal que c(p)=0.