Prove que sumn=0^infty 3^n+5^n15^n=114.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma infinita: . Esse problema está ligado à matéria de séries geométricas. A gente vai precisar entender como somar séries infinitas e usar a fórmula da série geométrica para resolver.

Passo 2

Primeiramente, vamos separar a soma em duas partes. Podemos escrever:
sumn=0^infty 3^n+5^n15^n = sumn=0^infty 3^n15^n + sumn=0^infty 5^n15^n

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada fração. Lembre-se que sumn=0^infty (315)^n + sumn=0^infty (515)^n . Então temos:

Passo 4

Vamos simplificar as frações dentro das potências:
315 = 15 e 515 = 13
Então a soma fica:
sumn=0^infty (15)^n + sumn=0^infty (13)^n

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é:
sumn=0^infty r^n = 11 - r, onde |r| < 1

Passo 6

Aplicando a fórmula para cada uma das séries:
Para 11 - 15 = 145 = 54 :
11 - 13 = 123 = 32
Para :

Passo 7

Agora, somamos os dois resultados:
54 + 32 = 54 + 64 = 114

Resposta

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