Prove que todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em
é L.D.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em
é Linearmente Dependente (LD). Isso está relacionado ao conceito de dimensão de um espaço vetorial. Em
, a dimensão é 2, o que significa que no máximo conseguimos ter 2 vetores linearmente independentes. Então, pra resolver, vamos usar esse fato sobre dimensões e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação:
onde pelo menos um dos
é diferente de zero.
Passo 3
Sabemos que
tem dimensão 2. Isso significa que qualquer conjunto de vetores com mais de 2 vetores necessariamente tem vetores que são combinações dos outros. Se tentarmos ter 3 vetores em
, não conseguimos que os três sejam independentes porque só temos 2 direções básicas no plano.
Passo 4
Para formalizar, considere três vetores
. Como o espaço tem dimensão 2, pelo Teorema da Base, apenas 2 vetores podem ser independentes. Então, o terceiro vetor
deve ser uma combinação linear de
e
:
onde
e
são escalares.
Passo 5
Rearranjando a equação acima, temos:
Aqui,
,
e
são os coeficientes na combinação linear que resulta no vetor nulo. Como pelo menos um coeficiente (
) é diferente de zero, isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Portanto, todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em
é Linearmente Dependente.