Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais. (x, y) in R^2 mid 2 x=y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma base para o espaço vetorial (x, y) in R^2 mid 2x = y. Isso significa que estamos lidando com um conjunto de vetores no plano 2D onde a segunda coordenada sempre é o dobro da primeira. O conteúdo que vamos usar aqui inclui conceitos de espaço vetorial, base e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa 2x = y. Isso quer dizer que para qualquer vetor (x, y) nesse espaço, a coordenada y é sempre duas vezes o x. Então, podemos escrever qualquer vetor desse espaço como (x, 2x).

Passo 3

Agora, vamos fatorar o x dessa expressão: (x, 2x) = x cdot (1, 2). Isso mostra que todo vetor no espaço pode ser obtido multiplicando o escalar x pelo vetor (1, 2).

Passo 4

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, vemos que apenas o vetor (1, 2) é suficiente para gerar qualquer vetor no espaço, e não precisamos de mais nenhum outro vetor para isso.

Resposta

A base para o espaço vetorial é , (1, 2) ,.

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