Prove que, para todo
inteiro positivo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
, as médias potências de ordem
e
dos números
e
satisfazem
O conteúdo aqui é a desigualdade das médias potenciais (ou power mean): a função
é estritamente crescente em
sempre que
. Vamos provar que
e concluir que
.
Passo 2
Defina
,
e, para
,
Repare que
Logo a desigualdade do enunciado equivale a
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro observe que, para
,
Pela regra do quociente,
Portanto, provar
é equivalente a mostrar
Passo 4
Use a concavidade estrita de
. Defina pesos
com
. Como
é estritamente concava,
Multiplicando ambos os lados por
e reagrupando, chega-se exatamente a
ou seja,
.
Passo 5
Como
para todo
, a função
é estritamente crescente. Assim
Resposta
A desigualdade
vale para todo inteiro positivo
.