Para quais valores primos
existe um poliedro convexo tal que cada vértice pertence a exatamente
faces?
Passo 1
O enunciado pergunta: para quais números primos
existe um poliedro convexo em que cada vértice incide em exatamente
faces? Vamos usar teoria de grafos e poliedros convexos, em particular as relações de incidência vértice–aresta–face e a fórmula de Euler.
Passo 2
Sejam
,
e
o número de vértices, arestas e faces do poliedro. Cada vértice incide em
faces, logo o total de incidências vértice–face é
Por outro lado, cada face com arestas incide em
vértices, e somando sobre todas as faces obtemos
Por outro lado, cada face com
Logo a relação de incidência dá
Passo 3
Aplicando a fórmula de Euler
e substituindo
, temos
Passo 4
Como cada face tem pelo menos três vértices, a soma das incidências vértice–face satisfaz
Substituindo
e
em função de
:
Multiplicando por 2 e rearranjando,
Como
, isso impõe
Passo 5
Entre os primos menores que 6, temos
. Mas em um poliedro convexo cada vértice está em pelo menos três faces, logo
. Assim restam
Existem de fato exemplos:
- Para
(vértice de valência 3) há muitos poliedros triangulados, por exemplo o prisma triangular. - Para
aparece o icosaedro regular, em que cada vértice incide em 5 faces.