Prove que todo plano que passa pelo ponto médio de um segmento PQ é equidistante de Pe Q. Verifique se vale a recíproca.

Passo 1

O enunciado pede que provemos que qualquer plano que passa pelo ponto médio M do segmento \overline{PQ} é equidistante de P e Q, ou seja, que
\mathrm{dist}(P,\pi)\;=\;\mathrm{dist}(Q,\pi).
O conteúdo principal será a fórmula da distância de um ponto a um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Seja \pi o plano de equação
n\cdot X + d = 0,
onde n\neq 0 é um vetor normal a \pi e d é um escalar. Como M é o ponto médio de P e Q, temos
M = \frac{P+Q}{2}.
Como o plano passa por M, substituindo X=M na equação de \pi obtemos
n\cdot\Bigl(\frac{P+Q}{2}\Bigr) + d = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{n\cdot P + n\cdot Q}{2} + d = 0 \;\Longrightarrow\; n\cdot P + n\cdot Q + 2d = 0.

Passo 3

Da relação n\cdot P + n\cdot Q + 2d = 0 segue
n\cdot P + d = -\bigl(n\cdot Q + d\bigr).

Passo 4

A fórmula da distância de um ponto X ao plano \pi é
\mathrm{dist}(X,\pi) =\frac{\bigl|n\cdot X + d\bigr|}{\|n\|}.
Logo
\mathrm{dist}(P,\pi) =\frac{\bigl|n\cdot P + d\bigr|}{\|n\|} \quad\text{e}\quad \mathrm{dist}(Q,\pi) =\frac{\bigl|n\cdot Q + d\bigr|}{\|n\|}.
Pelo resultado do passo anterior, \bigl|n\cdot P + d\bigr|=\bigl|n\cdot Q + d\bigr|, de modo que
\mathrm{dist}(P,\pi)=\mathrm{dist}(Q,\pi).
Isso prova a afirmação principal.

Passo 5

Para verificar a recíproca, suponha que \pi seja um plano tal que
\mathrm{dist}(P,\pi)=\mathrm{dist}(Q,\pi),
ou seja,
\bigl|n\cdot P + d\bigr| =\bigl|n\cdot Q + d\bigr|.
Isso implica duas possibilidades:
  1. n\cdot P + d = -\bigl(n\cdot Q + d\bigr), que leva a n\cdot(P+Q)+2d=0, ou seja, M satisfaz n\cdot M+d=0 e portanto M\in\pi.
  2. n\cdot P + d = n\cdot Q + d, que leva a n\cdot(P-Q)=0. Nesse caso o vetor P-Q é ortogonal a n, logo o plano \pi é paralelo à reta PQ e não precisa conter M.
Portanto, a recíproca não vale em geral: um plano equidistante de P e Q ou passa por M (caso 1) ou é paralelo a PQ (caso 2).

Resposta

Qualquer plano que passa por M satisfaz \mathrm{dist}(P,\pi)=\mathrm{dist}(Q,\pi). A recíproca não vale: existem planos equidistantes de P e Q que não contêm M, pois são paralelos à reta PQ.

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