Pelo resultado do passo anterior, \bigl|n\cdot P + d\bigr|=\bigl|n\cdot Q + d\bigr|, de modo que
\mathrm{dist}(P,\pi)=\mathrm{dist}(Q,\pi).
Isso prova a afirmação principal.
Passo 5
Para verificar a recíproca, suponha que \pi seja um plano tal que
\mathrm{dist}(P,\pi)=\mathrm{dist}(Q,\pi),
ou seja,
\bigl|n\cdot P + d\bigr| =\bigl|n\cdot Q + d\bigr|.
Isso implica duas possibilidades:
n\cdot P + d = -\bigl(n\cdot Q + d\bigr), que leva a n\cdot(P+Q)+2d=0, ou seja, M satisfaz n\cdot M+d=0 e portanto M\in\pi.
n\cdot P + d = n\cdot Q + d, que leva a n\cdot(P-Q)=0. Nesse caso o vetor P-Q é ortogonal a n, logo o plano \pi é paralelo à reta PQ e não precisa conter M.
Portanto, a recíproca não vale em geral: um plano equidistante de P e Q ou passa por M (caso 1) ou é paralelo a PQ (caso 2).
Resposta
Qualquer plano que passa por M satisfaz \mathrm{dist}(P,\pi)=\mathrm{dist}(Q,\pi). A recíproca não vale: existem planos equidistantes de P e Q que não contêm M, pois são paralelos à reta PQ.