O enunciado pede a equação vetorial de uma reta [t) tal que:
t é paralela ao plano \pi\colon z=0.
A distância de t ao plano \pi é 3.
t intersecta as retas
r\colon X=(1,-1,-1)+\lambda\,(1,2,4),
s\colon\begin{cases} x - y = 1,\\\\ 3y - 2z + 6 = 0. \end{cases}
Para resolver, precisamos usar:
– condição de paralelismo a um plano (o vetor direção de t\] deve ser ortogonal ao vetor normal de \(\pi);
– fórmula da distância de uma reta paralela a um plano;
– condições de interseção entre duas retas.
Passo 2
Como \pi\colon z=0 tem vetor normal (0,0,1), qualquer reta paralela a \pi deve ter vetor direção \mathbf{v}=(a,b,0). Assim o parâmetro z ao longo de t é constante; seja esse valor z_0.
A distância de uma reta paralela ao plano z=0 é simplesmente \lvert z_0\rvert. Como queremos distância 3, temos
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-2,\,0-1,\,3-3) = (-1,-1,0).
Passo 5
Podemos reescrever o vetor direção em forma mais simples, trocando (-1,-1,0) por (1,1,0) (multiplicando por -1). Escolhemos o ponto B=(1,0,3). Assim a reta t tem equação vetorial