Obtenha uma equação vetorial da reta t, paralela ao plano \pi: z=0, que dista 3 dele, e é concorrente com as retas
\begin{aligned} & r: x=(1,-1,-1)+\lambda(1,2,4) \\\ & s:\left\{\begin{array}{l} x-y=1 \\\\ 3 y-2 z+6=0 \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial de uma reta [t) tal que:
  1. t é paralela ao plano \pi\colon z=0.
  2. A distância de t ao plano \pi é 3.
  3. t intersecta as retas
r\colon X=(1,-1,-1)+\lambda\,(1,2,4),
s\colon\begin{cases} x - y = 1,\\\\ 3y - 2z + 6 = 0. \end{cases}
Para resolver, precisamos usar:
– condição de paralelismo a um plano (o vetor direção de t\] deve ser ortogonal ao vetor normal de \(\pi);
– fórmula da distância de uma reta paralela a um plano;
– condições de interseção entre duas retas.

Passo 2

Como \pi\colon z=0 tem vetor normal (0,0,1), qualquer reta paralela a \pi deve ter vetor direção \mathbf{v}=(a,b,0). Assim o parâmetro z ao longo de t é constante; seja esse valor z_0.
A distância de uma reta paralela ao plano z=0 é simplesmente \lvert z_0\rvert. Como queremos distância 3, temos
\lvert z_0\rvert = 3 \;\Longrightarrow\; z_0 = 3 \quad\text{ou}\quad z_0 = -3.

Passo 3

Para que t intersecte r, deve existir \lambda e \mu_1 tais que, se P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto de t e \mathbf{v}=(a,b,0) sua direção, então
P + \mu_1\,(a,b,0) =(1+ \lambda,\,-1+2\lambda,\,-1+4\lambda).
Da componente z vem
z_0 = -1 + 4\lambda \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{z_0 + 1}{4}.
Para que t intersecte s, deve existir \mu_2 tal que
Q = P + \mu_2\,(a,b,0)
satisfaça as equações de s:
\begin{cases} x_Q - y_Q = 1,\\\\ 3y_Q - 2z_0 + 6 = 0. \end{cases}
Da segunda equação,
3y_Q = 2z_0 - 6 \;\Longrightarrow\; y_Q = \frac{2z_0 - 6}{3},
e então
x_Q = y_Q + 1 = \frac{2z_0 - 6}{3} + 1 = \frac{2z_0 - 3}{3}.

Passo 4

Agora testamos os dois casos z_0=3 e z_0=-3. Vamos escolher z_0=3 (o caso z_0=-3 dá outra reta análoga).
Para z_0=3:
– Na interseção com r,
\lambda = \tfrac{3 + 1}{4} = 1,
de modo que o ponto de interseção A vale
A = \bigl(1+1,\,-1+2\cdot1,\,3\bigr) = (2,1,3).
– Na interseção com s,
y_Q = \frac{2\cdot3 - 6}{3} = 0, \quad x_Q = \frac{2\cdot3 - 3}{3} = 1,
de modo que o ponto de interseção B vale
B = (1,0,3).
Como A\neq B, o vetor direção de t é
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-2,\,0-1,\,3-3) = (-1,-1,0).

Passo 5

Podemos reescrever o vetor direção em forma mais simples, trocando (-1,-1,0) por (1,1,0) (multiplicando por -1). Escolhemos o ponto B=(1,0,3). Assim a reta t tem equação vetorial
t\colon X = (1,0,3) + t\,(1,1,0).

Resposta

A equação vetorial de t é
\boxed{\,X = (1,0,3) + t\,(1,1,0)\,.}

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