Prove que para todo x
\operatorname{sen}^{6} x+\cos ^{6} x-2 \operatorname{sen}^{4} x-\cos ^{4} x+\operatorname{sen}^{2} x=0 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que para todo x vale
\sin^{6}x + \cos^{6}x - 2\sin^{4}x - \cos^{4}x + \sin^{2}x = 0.
Vamos usar a fatoração de soma de cubos e a identidade trigonométrica \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.

Passo 2

Observamos que
\sin^{6}x + \cos^{6}x = (\sin^{2}x)^{3} + (\cos^{2}x)^{3}.
Aplicando a fatoração de soma de cubos
a^{3}+b^{3} = (a+b)\,(a^{2}-ab+b^{2}),
com a=\sin^{2}x e b=\cos^{2}x, temos
\sin^{6}x + \cos^{6}x = (\sin^{2}x+\cos^{2}x)\bigl(\sin^{4}x - \sin^{2}x\,\cos^{2}x + \cos^{4}x\bigr) = \sin^{4}x - \sin^{2}x\,\cos^{2}x + \cos^{4}x.

Passo 3

Substituindo na expressão original, obtém-se
\begin{aligned} \sin^{6}x + \cos^{6}x - 2\sin^{4}x - \cos^{4}x + \sin^{2}x &= (\sin^{4}x - \sin^{2}x\,\cos^{2}x + \cos^{4}x) -2\sin^{4}x - \cos^{4}x + \sin^{2}x\\\ &= -\sin^{4}x - \sin^{2}x\,\cos^{2}x + \sin^{2}x. \end{aligned}

Passo 4

Fatorando \sin^{2}x,
-\sin^{4}x - \sin^{2}x\,\cos^{2}x + \sin^{2}x = \sin^{2}x\bigl(-\sin^{2}x - \cos^{2}x + 1\bigr).
Como \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1, o fator entre parênteses é zero, logo toda a expressão vale zero.

Resposta

A identidade
\sin^{6}x + \cos^{6}x - 2\sin^{4}x - \cos^{4}x + \sin^{2}x = 0
é verdadeira para todo x.

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