Prove que o triângulo de vértices A=(0,4,1), B=(2,1,3) e C=(3,3,5) é um triângulo retângulo.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A=(0,4,1), B=(2,1,3) e C=(3,3,5) em \mathbb{R}^3 e pede para mostrar que o triângulo ABC é retângulo. Vamos usar a propriedade de que dois segmentos são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar dos vetores correspondentes for zero.

Passo 2

Calculamos os vetores que representam dois lados do triângulo com vértice comum em B:
\overrightarrow{BA} = A - B = (0-2,\;4-1,\;1-3) = (-2,\,3,\,-2),
\overrightarrow{BC} = C - B = (3-2,\;3-1,\;5-3) = (1,\,2,\,2).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = (-2)\cdot1 + 3\cdot2 + (-2)\cdot2 = -2 + 6 - 4 = 0.
Como o produto escalar é zero, concluímos que \overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{BC}.

Passo 4

Se dois lados do triângulo são perpendiculares, o triângulo é retângulo. Aqui a reta \overline{AB} é perpendicular à reta \overline{BC}, logo o ângulo em B é reto.

Resposta

O triângulo ABC é retângulo em B.

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