Determinar as equações paramétricas das retas a seguir.
(a) que passa pelo ponto A=(1,3,2) e é paralela ao vetor (3,4,-1)
Passo 1
O enunciado pede as equações paramétricas da reta em \mathbb{R}^3 que passa por A=(1,3,2) e tem direção paralela ao vetor (3,4,-1). O conteúdo é “equação paramétrica de reta no espaço”, em que precisamos do ponto e de um vetor diretor.
Passo 2
Na geometria analítica em \mathbb{R}^3, a reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) e é paralela a um vetor diretor \mathbf{v}=(a,b,c) tem equações
\begin{cases} x = x_0 + at,\\\ y = y_0 + bt,\\\ z = z_0 + ct, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Passo 3
Aqui P=A=(1,3,2) e \mathbf{v}=(3,4,-1). Substituindo em cada coordenada, obtemos
\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = 3 + 4t,\\\ z = 2 - t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Resposta
\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = 3 + 4t,\\\ z = 2 - t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.