Prove que o triângulo de vértices A(0,2,3), B(-2,3,5) e C(4,4,6) é um triângulo retângulo. O ângulo de 90^{\circ} está em que vértice?

Passo 1

O enunciado dá o triângulo com vértices A(0,2,3), B(-2,3,5) e C(4,4,6). Para mostrar que ele é retângulo e identificar o vértice do ângulo de 90^\circ, vamos usar vetores e produto escalar: dois vetores são perpendiculares se e só se seu produto escalar for zero.

Passo 2

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (-2-0,\;3-2,\;5-3) = (-2,1,2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (4-0,\;4-2,\;6-3) = (4,2,3).

Passo 3

Computar o produto escalar:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = (-2)\cdot4 + 1\cdot2 + 2\cdot3 = -8 + 2 + 6 = 0.
Como o produto escalar é zero, \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$, o que implica que o triângulo é retângulo no vértice \(A.)

Resposta

O triângulo é retângulo em A.

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