Determine o vetor \vec{w}=\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{u}, o vetor projeção de \vec{u}=(-2,-1,2) sobre \vec{v}= (-1,2,-1).
Resp.: \operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{u}=\frac{1}{3}(1,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede o vetor projeção de \vec{u}=(-2,-1,2) sobre \vec{v}=(-1,2,-1). O conteúdo envolvido é a projeção de um vetor em outro, que usa o produto escalar e a norma ao quadrado de \vec{v}.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} e a norma ao quadrado de \vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v} = (-2)(-1) + (-1)(2) + (2)(-1) = 2 - 2 - 2 = -2,
\|\vec{v}\|^2 = (-1)^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6.

Passo 3

A fórmula da projeção de \vec{u} sobre \vec{v} é
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v}.
Substituindo os valores obtidos, temos
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{-2}{6}\,(-1,2,-1).

Passo 4

Multiplicando o escalar -2/6 = -1/3 pelo vetor \vec{v}, resulta
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = -\tfrac{1}{3}\,(-1,2,-1) = \tfrac{1}{3}(1,-2,1).

Resposta

\displaystyle \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \tfrac{1}{3}(1,-2,1).

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