7 Prove, usando o Algoritmo da Divisão, que todo número racional tem uma expressão decimal finita ou periódica. Prove que não é racional o número cuja expansão decimal é dada por 0,1010010001000010000010000001 \ldots.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Provar que todo número racional tem expansão decimal finita ou periódica.
  • Provar que o número com expansão decimal
0,1010010001000010000010000001\ldots
não é racional.
Informações úteis dadas:
  • Um número racional é um número que pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N}, q\ge1.
  • A expansão decimal dada mostra blocos de zeros entre uns cujo comprimento aumenta de 1 em 1: entre a k-ésima e a (k+1)-ésima ocorrência do dígito 1 há exatamente k zeros.
A partir daqui vou primeiro ensinar e usar o Algoritmo da Divisão (divisão inteira) para explicar como se obtém a expansão decimal de \dfrac{p}{q} e daí provar a afirmação geral; depois trato especificamente do número fornecido.

Passo 2

Lembrando o Algoritmo da Divisão (Euclides) de forma bem prática:
  • Para inteiros a e b>0 existe uma única decomposição
a = bq + r
com q\in\mathbb{Z} e r\in\{0,1,\dots,b-1\}.
Aqui q é o quociente inteiro e r é o resto. É isso que usamos ao dividir p por q.
Explicação didática: quando dividimos p por q no processo usual de lápis e papel, escrevemos o quociente inteiro (parte antes da vírgula) e obtemos um resto r_0. Para os dígitos decimais aplicamos o mesmo procedimento sobre restos multiplicados por 10: multiplicamos o resto por 10, dividimos por q para obter o próximo dígito decimal e um novo resto, e repetimos.

Passo 3

Construção explícita da expansão decimal de \dfrac{p}{q} usando o Algoritmo da Divisão:
  • Primeiro, divida p por q e escreva p=q a_0 + r_0 com 0\le r_0<q. Então a_0 é a parte inteira e
\frac{p}{q}=a_0+\frac{r_0}{q}.
  • Se r_0=0 a divisão é exata e a expansão decimal termina aí (decimal finito).
  • Se r_0\neq0, para obter o primeiro dígito decimal multiplica-se o resto por 10 e divide-se por q:
10 r_0 = q a_1 + r_1,\qquad 0\le r_1<q.
Então a_1 é o primeiro dígito após a vírgula, e
\frac{r_0}{q}=\frac{a_1}{10}+\frac{r_1}{10q}.
  • Iterando, para cada n\ge0 definimos
10 r_n = q a_{n+1} + r_{n+1},\qquad 0\le r_{n+1}<q,
onde a_{n+1}\in\{0,1,\dots,9\} é o dígito decimal na posição n+1 após a vírgula, e r_{n+1} é o novo resto.
Assim obtemos a expansão decimal
\frac{p}{q}=a_0.\,a_1 a_2 a_3\ldots
onde cada a_i surgiu deste processo de divisão sucessiva.
Observação pedagógica: em cada passo os restos r_n são inteiros entre 0 e q-1. Esse fato será crucial.

Passo 4

Aplicando o princípio da gaveta (pigeonhole) aos restos para concluir finitude ou periodicidade:
  • O conjunto possível de restos é finito: \{0,1,\dots,q-1\}, tem q elementos.
  • Ao construir os restos r_0,r_1,r_2,\dots dois casos ocorrem obrigatoriamente:
    1. Em algum passo aparece r_n=0. Então a expansão decimal termina (todos os a_{n+1},a_{n+2},\dots serão zero). Logo a expansão é finita.
    2. Se nenhum resto for zero, então temos uma sequência infinita de restos tomada em um conjunto finito de q-1 valores não nulos. Pelo princípio da gaveta, algum resto se repete: existem i<j com r_i=r_j e ambos não nulos.
  • Quando r_i=r_j os dígitos digitais entre as posições correspondentes repetem: do mesmo resto multiplicado por 10 produzem-se os mesmos quocientes subsequentes, logo os dígitos a_{i+1}a_{i+2}\ldots a_j repetem indefinidamente. Isso mostra que a expansão decimal é periódica a partir da casa i+1.
Conclusão desta parte (já provada): para qualquer \dfrac{p}{q} a expansão decimal é ou finita (caso um resto atinja 0) ou eventualmente periódica (caso algum resto não nulo se repita). Assim todo número racional tem expansão decimal finita ou periódica.

Passo 5

Comentário adicional (útil na prova): quando a expansão é finita está ligado aos fatores primos do denominador.
  • Se \dfrac{p}{q} está na forma irredutível e q tem apenas fatores primos 2 e 5, então existe k tal que 10^k é múltiplo de q; multiplicando por 10^k obtém-se um inteiro, logo a expansão decimal termina em k casas.
  • Se q tem qualquer outro primo (por exemplo 3, 7, 11, …), a expansão não pode terminar e é periódica. (Isto é consequência do argumento dos restos: se q não divide nenhuma potência de 10 então nenhum resto não nulo poderá tornar-se zero.)

Passo 6

Agora trato do número específico
x = 0,1010010001000010000010000001\ldots
Vou descrever precisamente a posição das ocorrências do dígito 1.
  • Numere as casas decimais após a vírgula por 1,2,3,\dots.
  • Observa-se que entre a k-ésima e a (k+1)-ésima ocorrência do dígito 1 existem exatamente k zeros. Assim as posições n_k da k-ésima ocorrência do dígito 1 satisfazem
n_1 = 1,\qquad n_{k+1}-n_k = k+1.
  • Soma telescópica dá a fórmula fechada (triangular):
n_k = \frac{k(k+1)}{2}.
Exemplos para checar: n_1=1,\\ n_2=3,\\ n_3=6,\\ n_4=10, que batem com a sequência de uns em 0,1010010001\ldots.

Passo 7

Prova por contradição de que x não é racional:
  • Suponha, para contradição, que x seja racional. Pela parte já provada, a expansão decimal de x seria ou finita ou eventualmente periódica. Não é finita (há infinitas ocorrências de 1), então deve ser eventualmente periódica: existem N e um período p\ge1 tais que, para toda posição m\ge N, o dígito na posição m+p é igual ao dígito na posição m.
  • Como n_k\to\infty quando k\to\infty, escolha k grande o suficiente de modo que n_k\ge N e, além disso,
n_{k+1}-n_k = k+1 > p.
Isto é possível porque k+1 cresce sem limite.
  • Agora olhe a posição n_k. Nela há um dígito 1. Pela periodicidade, o dígito na posição n_k+p deve ser igual ao dígito na posição n_k, isto é, deve ser 1.
  • Mas n_k<p n_{k+1} e, por construção, n_k+p<n_{k+1} (porque n_{k+1}-n_k>p). Logo n_k+p fica estritamente entre duas ocorrências consecutivas de 1: entre n_k e n_{k+1}. Entre essas duas ocorrências todos os dígitos são zeros (pela definição da sequência), então o dígito na posição n_k+p deveria ser 0.
  • Conflito: periodicidade exige que o dígito seja 1, enquanto a definição da sequência exige que seja 0. Contradição.
  • Portanto a hipótese de que x é racional é falsa. Logo x não é racional (ou seja, é irracional).

Resposta

Todo número racional tem expansão decimal finita ou periódica.
O número 0,1010010001000010000010000001\ldots não é racional.

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