7 Prove, usando o Algoritmo da Divisão, que todo número racional tem uma expressão decimal finita ou periódica. Prove que não é racional o número cuja expansão decimal é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Provar que todo número racional tem expansão decimal finita ou periódica.
- Provar que o número com expansão decimal
não é racional.
Informações úteis dadas:
- Um número racional é um número que pode ser escrito como
com e , . - A expansão decimal dada mostra blocos de zeros entre uns cujo comprimento aumenta de
em : entre a -ésima e a -ésima ocorrência do dígito há exatamente zeros.
A partir daqui vou primeiro ensinar e usar o Algoritmo da Divisão (divisão inteira) para explicar como se obtém a expansão decimal de
e daí provar a afirmação geral; depois trato especificamente do número fornecido.
Passo 2
Lembrando o Algoritmo da Divisão (Euclides) de forma bem prática:
- Para inteiros
e existe uma única decomposição
com
e
.
Aqui é o quociente inteiro e
é o resto. É isso que usamos ao dividir
por
.
Aqui
Explicação didática: quando dividimos
por
no processo usual de lápis e papel, escrevemos o quociente inteiro (parte antes da vírgula) e obtemos um resto
. Para os dígitos decimais aplicamos o mesmo procedimento sobre restos multiplicados por
: multiplicamos o resto por
, dividimos por
para obter o próximo dígito decimal e um novo resto, e repetimos.
Passo 3
Construção explícita da expansão decimal de
usando o Algoritmo da Divisão:
- Primeiro, divida
por e escreva com . Então é a parte inteira e
- Se
a divisão é exata e a expansão decimal termina aí (decimal finito). - Se
, para obter o primeiro dígito decimal multiplica-se o resto por e divide-se por :
Então
é o primeiro dígito após a vírgula, e
- Iterando, para cada
definimos
onde
é o dígito decimal na posição
após a vírgula, e
é o novo resto.
Assim obtemos a expansão decimal
onde cada
surgiu deste processo de divisão sucessiva.
Observação pedagógica: em cada passo os restos
são inteiros entre
e
. Esse fato será crucial.
Passo 4
Aplicando o princípio da gaveta (pigeonhole) aos restos para concluir finitude ou periodicidade:
- O conjunto possível de restos é finito:
, tem elementos. - Ao construir os restos
dois casos ocorrem obrigatoriamente: - Em algum passo aparece
. Então a expansão decimal termina (todos os serão zero). Logo a expansão é finita. - Se nenhum resto for zero, então temos uma sequência infinita de restos tomada em um conjunto finito de
valores não nulos. Pelo princípio da gaveta, algum resto se repete: existem com e ambos não nulos.
- Em algum passo aparece
- Quando
os dígitos digitais entre as posições correspondentes repetem: do mesmo resto multiplicado por produzem-se os mesmos quocientes subsequentes, logo os dígitos repetem indefinidamente. Isso mostra que a expansão decimal é periódica a partir da casa .
Conclusão desta parte (já provada): para qualquer
a expansão decimal é ou finita (caso um resto atinja
) ou eventualmente periódica (caso algum resto não nulo se repita). Assim todo número racional tem expansão decimal finita ou periódica.
Passo 5
Comentário adicional (útil na prova): quando a expansão é finita está ligado aos fatores primos do denominador.
- Se
está na forma irredutível e tem apenas fatores primos e , então existe tal que é múltiplo de ; multiplicando por obtém-se um inteiro, logo a expansão decimal termina em casas. - Se
tem qualquer outro primo (por exemplo 3, 7, 11, …), a expansão não pode terminar e é periódica. (Isto é consequência do argumento dos restos: se não divide nenhuma potência de então nenhum resto não nulo poderá tornar-se zero.)
Passo 6
Agora trato do número específico
Vou descrever precisamente a posição das ocorrências do dígito
.
- Numere as casas decimais após a vírgula por
. - Observa-se que entre a
-ésima e a -ésima ocorrência do dígito existem exatamente zeros. Assim as posições da -ésima ocorrência do dígito satisfazem
- Soma telescópica dá a fórmula fechada (triangular):
Exemplos para checar:
, que batem com a sequência de uns em
.
Passo 7
Prova por contradição de que
não é racional:
- Suponha, para contradição, que
seja racional. Pela parte já provada, a expansão decimal de seria ou finita ou eventualmente periódica. Não é finita (há infinitas ocorrências de ), então deve ser eventualmente periódica: existem e um período tais que, para toda posição , o dígito na posição é igual ao dígito na posição . - Como
quando , escolha grande o suficiente de modo que e, além disso,
Isto é possível porque
cresce sem limite.
- Agora olhe a posição
. Nela há um dígito . Pela periodicidade, o dígito na posição deve ser igual ao dígito na posição , isto é, deve ser . - Mas
e, por construção, (porque ). Logo fica estritamente entre duas ocorrências consecutivas de : entre e . Entre essas duas ocorrências todos os dígitos são zeros (pela definição da sequência), então o dígito na posição deveria ser . - Conflito: periodicidade exige que o dígito seja
, enquanto a definição da sequência exige que seja . Contradição. - Portanto a hipótese de que
é racional é falsa. Logo não é racional (ou seja, é irracional).
Resposta
Todo número racional tem expansão decimal finita ou periódica.
O número não é racional.
O número