9 Prove que para qualquer número inteiro positivo
existem
números inteiros consecutivos e não primos. Sugestão: Considere os números inteiros
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, dado qualquer inteiro positivo
, existem
números inteiros consecutivos que não são primos (ou seja, são compostos).\n
Informações que temos: a sugestão indica considerar os números . Não foi dada nenhuma outra condição;
é um inteiro positivo arbitrário.
Informações que temos: a sugestão indica considerar os números
Passo 2
Definições e conceitos que vou usar (explicados de forma direta):
- Um número inteiro
é primo se seus únicos divisores positivos são e . Se existir um divisor positivo próprio entre e , então é composto (não primo). - O fatorial
de um inteiro positivo é o produto . Em particular, para qualquer inteiro com tem-se que divide , pois contém o fator no produto. - “Dividir” significa: dizemos que
divide (escreve-se ) se existe inteiro tal que .
Vou usar esses fatos básicos: se um número
é divisível por algum inteiro
com
, então
é composto.
Passo 3
Construção explícita dos
números consecutivos que vamos provar serem todos compostos.
Considere o inteiro
. Agora forme a sequência
Observações imediatas:
- Esses
inteiros são consecutivos porque são sem lacunas. - O número de termos é
porque estamos incluindo os índices , e a quantidade de inteiros de até é .
Passo 4
Mostro que cada termo
da sequência é divisível por
, para cada
em
.
Como
e
, o número
aparece como um fator em
. Portanto
. Escrevendo
para algum inteiro
, temos
Logo
.
Passo 5
Concluo que cada
é composto (não primo).
Pelo passo anterior, para cada
existe um divisor próprio
de
. Faltam duas verificações para garantir que isso realmente prova que
é composto:
-
, logo o divisor é não trivial (não é ). -
, portanto o divisor é estritamente menor que , ou seja, é um divisor próprio diferente de .
A segunda verificação é óbvia porque
e portanto
. Assim cada
tem um divisor próprio entre
e
, então é composto.
Passo 6
Resumo da conclusão: para o inteiro positivo arbitrário
construímos explicitamente
inteiros consecutivos
e provamos que cada um deles é divisível por um inteiro
com
e maior que esse divisor, portanto cada um é composto. Isso termina a prova da existência requisitada.