9 Prove que para qualquer número inteiro positivo n existem n números inteiros consecutivos e não primos. Sugestão: Considere os números inteiros (n+1)!+2,(n+1)!+3, \ldots.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, dado qualquer inteiro positivo (n), existem (n) números inteiros consecutivos que não são primos (ou seja, são compostos).\n
Informações que temos: a sugestão indica considerar os números (n+1)!+2, (n+1)!+3, \ldots. Não foi dada nenhuma outra condição; (n) é um inteiro positivo arbitrário.

Passo 2

Definições e conceitos que vou usar (explicados de forma direta):
  • Um número inteiro (m>1) é primo se seus únicos divisores positivos são (1) e (m). Se existir um divisor positivo próprio entre (2) e (m-1), então (m) é composto (não primo).
  • O fatorial (k!) de um inteiro positivo (k) é o produto (k!) = 1\cdot2\cdot3\cdots k. Em particular, para qualquer inteiro (i) com (1\le i\le k) tem-se que (i) divide (k!), pois (k!) contém o fator (i) no produto.
  • “Dividir” significa: dizemos que (a) divide (b) (escreve-se (a\mid b)) se existe inteiro (q) tal que (b = a\cdot q).
Vou usar esses fatos básicos: se um número (x) é divisível por algum inteiro (d) com (2\le d\le x-1), então (x) é composto.

Passo 3

Construção explícita dos (n) números consecutivos que vamos provar serem todos compostos.
Considere o inteiro (N = (n+1)!). Agora forme a sequência
N+2,\; N+3,\; N+4,\; \ldots,\; N+(n+1).
Observações imediatas:
  • Esses (n) inteiros são consecutivos porque são (N+2),(N+3),\ldots,(N+(n+1)) sem lacunas.
  • O número de termos é (n) porque estamos incluindo os índices (2,3,\ldots,n+1), e a quantidade de inteiros de (2) até (n+1) é (n).

Passo 4

Mostro que cada termo (N+k) da sequência é divisível por (k), para cada (k) em \{2,3,\ldots,n+1\}.
Como (N=(n+1)!) e (k\le n+1), o número (k) aparece como um fator em (n+1)!. Portanto (k\mid (n+1)!). Escrevendo (n+1)! = k\cdot t) para algum inteiro (t), temos
N+k = (n+1)! + k = k\cdot t + k = k\cdot (t+1).
Logo (k\mid (N+k)).

Passo 5

Concluo que cada (N+k) é composto (não primo).
Pelo passo anterior, para cada (k\in\{2,\ldots,n+1\}) existe um divisor próprio (k) de (N+k). Faltam duas verificações para garantir que isso realmente prova que (N+k) é composto:
  1. (k\ge 2), logo o divisor é não trivial (não é 1).
  2. (N+k)>k, portanto o divisor (k) é estritamente menor que (N+k), ou seja, é um divisor próprio diferente de (N+k).
A segunda verificação é óbvia porque (N=(n+1)!\ge1) e portanto (N+k = (n+1)!+k)>k. Assim cada (N+k) tem um divisor próprio entre (2) e (N+k-1), então é composto.

Passo 6

Resumo da conclusão: para o inteiro positivo arbitrário (n) construímos explicitamente (n) inteiros consecutivos
(n+1)!+2,\; (n+1)!+3,\; \ldots,\; (n+1)!+(n+1),
e provamos que cada um deles é divisível por um inteiro (k) com (2\le k\le n+1) e maior que esse divisor, portanto cada um é composto. Isso termina a prova da existência requisitada.

Resposta

(n+1)!+2,\; (n+1)!+3,\; \ldots,\; (n+1)!+(n+1)

Exercícios relacionados